是一种代数结构, 指带有相容的加法乘法两种运算集合. 例如,

整数 在我们熟知的加法、乘法运算下构成环.

所有, 包括有理数实数 等, 也都是环.

在环中, 我们并不要求乘法满足交换律. 那些乘法满足交换律的环称为交换环, 这一类环也是最先开始研究的环. 研究交换环的学科称为交换代数, 它为代数数论同调代数代数几何等学科提供了基础. 代数几何提供了代数–几何对偶的观点, 在此观点下, 环与空间相对偶, 从而可以通过环的性质来研究空间的性质.

而对那些一般的环, 也就是不一定交换的环, 研究它们的学科称为非交换代数. 非交换环是表示论的主要研究对象之一, 非交换性也是量子力学量子场论中的核心要素. 另外, 基于代数–几何对偶, 也可以将非交换环对应于 “非交换空间”, 这一学科称为非交换几何.

范畴代数的观点看, 环是 Abel 群范畴 中的幺半对象, 这是范畴代数的一个基本例子. 基于这一点, 在高阶代数中, 可以将环推广为 -环-环, 这些代数结构是研究高阶几何的基础.

1定义

定义 1.1 (环). 是三元组 , 其中 上的二元运算, 分别称为加法乘法, 并且当两元素相乘时, 乘号 常常省略不写. 我们要求加法、乘法满足以下条件:

构成 Abel 群, 其单位元记为 . 具体来说, 加法应满足以下性质:

加法满足结合律: 对任意 , 有

加法满足交换律: 对任意 , 有

加法具有单位元 , 称为零元, 满足单位律: 对任意 , 有

对任意 , 存在元素 , 使得

构成幺半群, 其单位元记为 . 具体来说, 乘法应满足以下性质:

乘法满足结合律: 对任意 , 有

乘法具有单位元 , 称为幺元或环的单位元, 满足单位律: 对任意 , 有

乘法对加法满足分配律: 对任意 , 有

如不引起歧义, 此三元组也可简记为 .

注 1.2. 我们定义的环带有乘法单位元 . 不含单位元的环则称为无幺环, 这是数学术语中白马非马的一个例子. 如需强调乘法单位元, 可称环为幺环.

环之间保持环结构的映射称为环同态.

定义 1.3 (环同态). 之间的环同态是指映射满足以下条件:

与加法和乘法相容: 对任意 , 有

保持单位元, 即其中 分别为 的单位元.

定义 1.4 (环范畴). 所有环构成一范畴, 其中态射为环的同态, 称为环范畴, 记为 .

2例子

零环是只有一个元素的环, 记为 . 它也是唯一的满足 的环.

所有都是环.

所有整数在通常的加法、乘法下构成环 .

上所有 矩阵矩阵加法矩阵乘法下构成环, 称为矩阵环. 矩阵环一般不是交换环.

上的所有 多项式构成多项式环 .

3相关概念

术语翻译

英文 ring德文 Ring (m)法文 anneau (m)拉丁文 anellus (m)古希腊文 δακτύλιος (m)日文 環 (かん)韩文 환 (環)