Hopf 代数

Hopf 代数是一种代数结构, 它同时具有代数余代数的结构, 且二者相容.

代数–几何对偶的观点下, Hopf 代数对应于有结构的空间. 交换 Hopf 代数对应群概形 (2.3), 一般的 Hopf 代数则可以视为交换 Hopf 代数的量子化, 即对应非交换空间.

Tannaka–Krein 对偶的观点下, Hopf 代数对应于刚性幺半范畴 (即同时具有 “张量积” 与 “对偶” 运算的范畴) .

1定义

定义 1.1 (Hopf 代数). 上的 Hopf 代数是六元组 , 其中

-双代数. 具体而言,

-向量空间.

-代数 (称为它的底代数), 其中 是乘法, 是单位.

-余代数, 其中 是余乘, 是余单位.

这些运算满足相容条件, 即 是代数同态. 等价地说, 是余代数同态.

-线性映射, 称为对合映射余逆.

满足下述条件:

复合映射都等于

在不引起歧义时, 上述六元组简记为 .

定义 1.2. 交换 Hopf 代数指的是乘法 交换运算的代数.

定义 1.3. 上 Hopf 代数之间的同态定义为与其所有运算相容的映射. 上所有 Hopf 代数范畴构成一范畴, 记为 , 所有交换 Hopf 代数构成的范畴记为

2性质

命题 2.1. Hopf 代数 的有限维 (左或右, 下不妨设为左) 模 (即其底代数上的模) 范畴 刚性幺半范畴. 其中,

张量积运算 为: 对两个 , 张量积 上有自然 模结构. 通过余乘 给出其 模结构.

对偶运算 为: 对 , 向量空间 上有自然 模结构, 通过余逆 给出其 模结构.

注 2.2. 刚性幺半范畴要求的结构态射 给出. 注意如果换成 , 则这不构成模同态, 因此 只构成右对偶, 不构成左对偶.

命题 2.3. 上的交换 Hopf 代数范畴与 上的仿射群概形范畴等价, 二互逆函子为: 在此二函子下, Hopf 代数的余运算与群概形的运算相互对应.

3例子

由命题 2.3, 仿射群概形的整体截面有 Hopf 代数结构.

对有限群 , 群代数 有 Hopf 代数结构, 因此群表示有对偶, 张量积, 同态等操作:

余乘 诱导.

余逆 诱导.

余单位 诱导.

Lie 代数泛包络代数有 Hopf 代数结构.

可通过群概形量子化构造非交换 Hopf 代数, 以下是群概形 与量子群 之对应:

的坐标环代数为 , 其同构于四元多项式环; 的坐标环代数在形式上仍为 , 规定量子化乘法如下

的单位同一般 -代数定义.

上的余乘均由 给出.

上的余单位均为 .

上的余逆均为 .

术语翻译

Hopf 代数英文 Hopf algebra德文 Hopf-Algebra (f)法文 algèbre de Hopf (f)