Hopf 代数
Hopf 代数是一种代数结构, 它同时具有代数和余代数的结构, 且二者相容.
在代数–几何对偶的观点下, Hopf 代数对应于有群结构的空间. 交换 Hopf 代数对应群概形 (2.3), 一般的 Hopf 代数则可以视为交换 Hopf 代数的量子化, 即对应非交换空间.
在 Tannaka–Krein 对偶的观点下, Hopf 代数对应于刚性幺半范畴 (即同时具有 “张量积” 与 “对偶” 运算的范畴) .
1定义
定义 1.1 (Hopf 代数). 域 上的 Hopf 代数是六元组 , 其中
• | 是 -双代数. 具体而言,
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• | 是 -线性映射, 称为对合映射或余逆. |
满足下述条件:
• | 复合映射都等于 |
在不引起歧义时, 上述六元组简记为 .
定义 1.2. 交换 Hopf 代数指的是乘法 为交换运算的代数.
定义 1.3. 域 上 Hopf 代数之间的同态定义为与其所有运算相容的映射. 上所有 Hopf 代数范畴构成一范畴, 记为 , 所有交换 Hopf 代数构成的范畴记为
2性质
命题 2.1. Hopf 代数 的有限维 (左或右, 下不妨设为左) 模 (即其底代数上的模) 范畴 是刚性幺半范畴. 其中,
• | 张量积运算 为: 对两个 模 , 张量积 上有自然 模结构. 通过余乘 给出其 模结构. |
• | 对偶运算 为: 对 模 , 向量空间 上有自然 模结构, 通过余逆 给出其 模结构. |
注 2.2. 刚性幺半范畴要求的结构态射 由 给出. 注意如果换成 , 则这不构成模同态, 因此 只构成右对偶, 不构成左对偶.
3例子
• | 由命题 2.3, 仿射群概形的整体截面有 Hopf 代数结构. |
• | 对有限群 , 群代数 有 Hopf 代数结构, 因此群表示有对偶, 张量积, 同态等操作:
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• | 可通过群概形量子化构造非交换 Hopf 代数, 以下是群概形 与量子群 之对应:
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术语翻译
Hopf 代数 • 英文 Hopf algebra • 德文 Hopf-Algebra (f) • 法文 algèbre de Hopf (f)