域

关于集合论中的域, 请参见 “集合代数”.

域是一种代数结构, 它是具备加、减、乘、除四则运算的集合, 并且, 加法、乘法满足通常的运算律, 包括交换律、结合律、分配律. 例如,

•	我们常见的数系中, 有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$、复数集 $\mathbb{C}$ 都是域.

•	整数集 $\mathbb{Z}$ 不是域, 因为整数相除的结果不一定是整数.

研究域的理论称为域论. 域论中一个重要的分支是 Galois 理论, 研究域之间的域扩张的结构. 该理论也是现代代数学的前驱, 促使了群论的发展. 通过 Galois 理论, 可以证明一类经典问题, 包括三等分角问题、倍立方问题、五次方程求根问题, 是不可解的.

在代数学和几何学中, 常常选取一个域作为 “所有数的集合”, 然后再研究这个域上的各种数学结构. 因此, 在线性代数、同调代数、表示论、代数几何等等学科中, 域都是最基本的概念之一.

在某种意义下, 域是最简单的环. 例如, 在代数–几何对偶的观点下, 环对应于空间, 而域对应于单点空间.

1定义

定义 1.1 (域). 域是非零的交换环, 其中所有非零元素都关于乘法可逆.

具体地说, 域是三元组 $(F,+,\cdot )$, 其中 $+,\cdot$ 是 $F$ 上的二元运算, 并满足以下条件:

•	$(F,+)$ 构成 Abel 群, 其单位元记为 $0$. 具体来说, 加法应满足以下性质: ∘ 加法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in F$, 有$$(a+b)+c=a+(b+c).$$ ∘ 加法满足交换律: 对任意 $a,b\in F$, 有$$a+b=b+a.$$ ∘ 加法具有单位元 $0\in F$, 称为零元, 满足单位律: 对任意 $a\in F$, 有$$0+a=a.$$ ∘ 对任意 $a\in F$, 存在元素 $-a\in F$, 使得$$a+(-a)=0.$$

•

$(F,\cdot )$ 构成交换幺半群, 其单位元记为 $1$, 且 $(F\setminus \{0\},\cdot )$ 构成 Abel 群. 常常记 $F^{\times }=F\setminus \{0\}$. 具体来说, 乘法应满足以下性质: ∘ 乘法满足结合律: 对任意 $a,b,c\in F$, 有$$(ab)c=a(bc).$$ ∘ 乘法满足交换律: 对任意 $a,b,c\in F$, 有$$ab=ba.$$ ∘ 乘法具有单位元 $1\in F$, 称为幺元或域的单位元, 满足单位律: 对任意 $a\in F$, 有$$1a=a.$$并且, 我们要求 $1\ne 0$. ∘ 对任意 $a\in F\setminus \{0\}$, 存在元素 $a^{-1}\in F$, 称为 $a$ 的逆元, 满足$$a{a}^{-1}=1.$$

•	乘法对加法满足分配律: 对任意 $a,b,c\in F$, 有$$a(b+c)=ab+ac.$$

定义 1.2 (域同态). 两个域之间的域同态为其间的环同态.

定义 1.3 (域范畴). 所有域和域同态构成一个范畴, 称为域范畴, 记为 $\mathsf{Field}$.

2例子

•	在通常的四则运算下, 有理数集 $\mathbb{Q}$、实数集 $\mathbb{R}$、复数集 $\mathbb{C}$ 都是域.

•	有限域是一类特殊的域, 这些域只有有限个元素. 最简单的有限域形如 ${\mathbb{F}}_p$, 其中 $p$ 是素数. 该域的元素为$${\mathbb{F}}_p=\{0,1,\dots ,p-1\},$$其加法、乘法就是模 $p$ 意义下的加法、乘法. 由于 $p$ 是素数, Bézout 引理保证了 ${\mathbb{F}}_p$ 中的非零元素都有乘法逆元, 从而 ${\mathbb{F}}_p$ 是域.

3性质

•	域的所有理想为 $\{0\}$ 和其自身.

•	域同态一定是单射, 因为其核是域中的理想, 从而必然是 $\{0\}$. 因此, 每个域同态都给出一个域扩张.

•	不同特征的域之间不存在域同态.

4相关概念

术语翻译

域 • 英文 field • 德文 Körper (m) • 法文 corps (commutatif) (m) • 拉丁文 corpus (n) • 古希腊文 σῶμα (n) • 日文 体