代数扩张

代数扩张是一类域扩张, 其中扩域所有元素都能写成原来的域中多项式的根.

对于任意域扩张 $K/k$, 存在唯一中间域 $k\subseteq k_K^{\mathrm{a}}\subseteq K$, 使得 $k_K^{\mathrm{a}}/k$ 是代数扩张, $K/k_K^{\mathrm{a}}$ 没有代数的子扩张 (命题 2.7). $k_K^{\mathrm{a}}$ 称作 $k$ 在 $K$ 中的代数闭包.

1定义

定义 1.1 (代数扩张). 设 $K/k$ 是域扩张. 称 $K/k$ 为代数扩张, 如果任意 $a\in K$ 都是 $k$ 上的代数元, 即存在非零 $k$ 系数的多项式 $f$ 使得 $f(a)=0$.

2性质

命题 2.1. $K/k$ 是域扩张, $a\in K$ 在 $k$ 上的代数元. 假设 $f(x)$ 是 $a$ 在 $k$ 上的极小多项式, 那么有同构$$k[x]/(f(x))\cong k(a).$$特别的, 假设 $n$ 是 $a$ 的极小多项式的次数, 那么 $[k(a):k]=n$.

证明. 考虑映射$$F:k[x]\to k(a),g(x)\mapsto g(a).$$容易验证 $F$ 是环同态. 由环同构定理, 只用证 $F$ 的核是 $(f)$ 以及 $F$ 是满射.

先证明 $F$ 的核是 $(f)$. 假设 $g(a)=0$, $g(x)\ne 0$, 若 $g\notin (f)$, 由多项式带余除法定理, 存在 $q(x)\in k[x]$ 和次数小于 $f$ 的多项式 $r\in k[x]$, 使得$$g(x)=f(x)q(x)+r(x).$$将 $a$ 带入得 $r(a)=0$, 与 $f$ 的最小性矛盾. 因此 $F$ 的核是 $(f)$.

再证 $F$ 是满射. $f$ 是 $a$ 在 $k$ 上的极小多项式, 即以 $a$ 为根, 系数在 $k$ 中, 次数最小的多项式. 假设 $f(x)$ 能写成两个次数大于 $0$ 的多项式 $s(x),t(x)$ 的积, 那么 $s(a)t(a)=0$, 则 $s(a)=0$ 或者 $t(a)=0$, 与 $f$ 的取法矛盾. 因此 $f$ 是不可约多项式. 取 $b\in k(a)$, 则 $b=g(a)/h(a)$, 其中 $g,h\in k[x]$, $h(a)\ne 0$. 由于 $f$ 不可约, 所以 $f$ 与 $h$ 互素. 由 Bézout 定理, 存在 $f_1,h_1\in k[x]$ 使得$$f_1(x)f(x)+h_1(x)h(x)=1.$$将 $a$ 带入 $x$, 再利用 $f(a)=0$ 得 $b=g(a)h_1(a)$. 因此 $b$ 在 $F$ 的像中, $F$ 是满射.

$\square$

命题 2.2. 有限扩张一定是代数扩张.

证明. 假设 $K/k$ 是有限扩张, 任取 $a\in K$ . 则由定义, 当 $n$ 充分大时, $1,a,\cdots ,a^n$ 在 $k$ 上线性相关. 于是 $a$ 在 $k$ 上代数.

$\square$

注 2.3. 代数扩张不一定是有限扩张.

结合上述两条命题我们有以下推论.

推论 2.4. $K/k$ 是域扩张, $a\in K$ 是 $k$ 上的代数元当且仅当 $[k(a):k]$ 有限.

推论 2.5. $K/k$ 是域扩张, 设 $a,b\in K$ 是代数元, 则 $k(a,b)/k$ 是代数扩张. 特别的, 代数元在加减乘除下封闭.

证明. 由于$$[k(a,b):k]\le [k(a,b):k(a)][k(a):k]$$有限, 所以推论成立.

$\square$

命题 2.6 (代数扩张具有传递性). 假设 $L/F,F/K$ 均是代数扩张, 那么 $L/K$ 也是代数扩张.

证明. 任取 $a\in L$, 设非零多项式 $f\in F[x]$ 满足 $f(a)=0$. 设 $a_i,1\le i\le n$ 是 $f$ 的所有系数. 令$$M_i=F(a_1,a_2,\cdots ,a_i),M_0=K,$$那么 $a$ 是 $M_n$ 上的代数元. 因此 $[M_n(a):M_n]$ 有限. 注意到$$[K(a):K]\le [M_n(a):M_n]\prod _i[M_i:M_{i-1}],$$因此 $[K(a):K]$ 有限, $a$ 是 $K$ 上代数元. 故 $L/K$ 是代数扩张.

$\square$

命题 2.7 (相对代数闭包). 对于任意域扩张 $K/k$, 存在唯一中间域 $k\subseteq k_K^{\mathrm{a}}\subseteq K$, 使得 $k_K^{\mathrm{a}}/k$ 是代数扩张, $K/k_K^{\mathrm{a}}$ 没有代数的子扩张.

$k_K^{\mathrm{a}}$ 称作 $k$ 在 $K$ 中的代数闭包. 当 $K$ 代数闭时, $k_K^{\mathrm{a}}$ 为 $k$ 的代数闭包.

证明. 令 $k_K^{\mathrm{a}}$ 是 $K$ 中所有代数元构成的子集, 由推论 2.5 知 $k_K^{\mathrm{a}}$ 是 $K$ 的子域. 这样的构造显然满足 $k_K^{\mathrm{a}}/k$ 是代数扩张.

假设 $a\in K\backslash k_K^{\mathrm{a}}$ 是 $k_K^{\mathrm{a}}$ 上的代数元, 那么由命题 2.6 知 $a$ 也是 $k$ 上代数元, 与 $k_K^{\mathrm{a}}$ 构造矛盾. 因此 $K/k_K^{\mathrm{a}}$ 没有代数的子扩张. 唯一性显然.

如 $K$ 代数闭, 则 $k_K^{\mathrm{a}}$ 上的非常值多项式在 $K$ 中都有根. 从上一段可以看出此根在 $k_K^{\mathrm{a}}$ 中, 故 $k_K^{\mathrm{a}}$ 代数闭. 它又是 $k$ 的代数扩张, 所以为 $k$ 的代数闭包.

$\square$

术语翻译

代数扩张 • 英文 algebraic extension • 德文 algebraische Erweiterung • 法文 extension algébrique • 拉丁文 extensio algebraica • 古希腊文 μεταριθμικὴ ἐπέκτασις