讨论室: 学术

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求助一道集合论的题

是否存在一个无穷项集合序列 Nk, 使得 Nk 的导集是 Nk+1, 且 Nk+1 是 Nk 的真子集?

是.

怎么构造呢

辛流形的相容近复结构的问题

设 $(M,\omega )$ 是辛流形, $I$ 是 $M$ 的近复结构, $\omega (IX,IY)=\omega (X,Y)$, $\forall X,Y$,
(1) 问 $M$ 是否有辛形式 $\Omega$ 使得 $I$ 与之相容, 即 $\Omega (IX,IY)=\Omega (X,Y)$, $\Omega (Y,IY)>0$, $\forall X,Y\ne 0$,
(2) 若近复结构 $I$ 可积, 问 $M$ 是否有可积近复结构 $J$ 与 $\omega$ 相容.

Kodaira-Thurston manifold. 这是一个紧流形. 上面即有辛结构 $\omega$, 也有复结构 I. 但是计算 betti number 得知 $b_1=3$ 它不可能是 Kahler 流形 (此时 $b_1$ 是偶数). 从而上面的每个辛结构都不与 I 相容, 每个复结构都不与 $\omega$ 相容.

收集小文章

加入探索: 小文章, 此外此问题应在讨论室: 香蕉空间.

感觉可以新开一个界面收集放在个人页面的有趣的小文章, 这样可以让更多人发现这些小文章. 此外这些小文章的内容是一些有趣的小结论而不太成体系, 也不太适合放在百科里.

现在迷神和 cyb 的一些小文章都挺有意思.

可以放在 “探索” 里, 和讲义并列. 但可能需要管理员及时移除质量不够好的文章链接, 以免重蹈旧香蕉空间的覆辙.

确实可以这样, 其实讲义大概也是如此处理的. 并且主页也可以加上这一条内容.

旧香蕉空间是什么?

大概是现在的香蕉空间去掉百科、讨论, 并且所有人都可以将自己的文章分享到 “发现” 页面里. 结果导致文章泛滥, 优质文章不多.

原来如此.

左理想为左 R 模的直和项当且仅当作为子环有右单位元素

设 N 是环 R 的一个左理想. 证明: 当 R 作为一个左 R-模时, 子模 N 是 R 的一个直和项当且仅当 N 作为 R 的子环有右单位元素.

做丁石孙的《代数学引论》第五章最后一题十分困惑, 完全不知道如何入手

一个有界的连续函数总可以被一列有界 Lipschitz 函数逼近吗?

如题

这个可能相关

要看是哪种拓扑下的逼近, 如果底空间是有限测度的开区域, 则在 L^p 拓扑下, 紧支集光滑函数在可以逼近有界连续函数, 紧支集光滑函数一定是 Lipschitz 连续的

李群中包含映射一定连续吗?

给出了李群中包含映射不一定连续的例子, 这个例子稍加思考即可加强到真子群的情况.

H 和 G 都是 Lie 群, H 是 G 的子群, 那么一定是 lie 子群吗? 换句话说, 包含映射一定连续吗? 朋友说是对的, 但是我不太会证明.

$H$ has to be closed, in which case the statement is known as the closed subgroup theorem of Cartan. Otherwise the subgroup may not be a manifold, an easy example is $\mathbb{R}$ and its subgroup $\mathbb{Q}$.

不对, $\mathbb{R}$ 到自身就有很多不连续的群自同构, 例如 Cauchy 函数方程的病态解.

确实, 您讲得太对了.

函数在一点处连续与函数在该点某邻域内连续等价吗?

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续与 $f(x)$ 在 $x_0$ 某领域内连续等价吗? $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续与 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 某领域内连续等价吗?

$f(x)=x^2{1}_{\mathbb{Q}}$ 在 $x=0$ 处连续, 它在这个点的一个邻域内连续吗?

不等价, 黎曼函数在 [0,1] 的任何有理点处连续, 在任何无理点不连续, 但显然有理点 $x_0$ 的任何邻域内都有不连续的无理点, 所以在 $x_0$ 的邻域内不连续.

香蕉百科暂时没有 Riemann 函数词条, 是否需要创建?

Riemann 函数 $R:[0,1]\to \mathbb{R}$ 的定义是:

$R(x)=\frac{1}{q}$, 当 $x=\frac{p}{q}$($p,q\in {\mathbb{N}}^{+}$, $\gcd (p,q)=1$);

$R(x)=0$, 当 $x=0,1$ 和 $(0,1)$ 内的无理数.

正则序列模极小素理想的高度

设 $A$ 是 Noether 局部环, $(x_1,\dots ,x_n)$ 是极大理想中正则序列. 设 $\mathfrak{q}$ 为 $A$ 任一极小素理想, 是否有 $\mathrm{ht}((x_1,\dots ,x_n,\mathfrak{q})/\mathfrak{q})=n$.

令 $I=(x_1,...,x_n)$, 由正则序列构成的理想, $J=(x_1,...,x_n,\mathfrak{q})$. 从而我们要证明, $ht(J/\mathfrak{q})=n$.

这里用到 Krull’s Hauptidealsatz: Let $A$ be a noetherian ring, and let $f\in A$ be an element which is neither a zero divisor nor a unit. Then every minimal prime ideal $\mathfrak{q}$ containing $f$ has height 1.

对于一个 Noetherian 局部环, 如果有一个理想 $I$ 包含于一个极大理想 M, 那么有 $ht(I)\le dim(A)$. $dim(A)$ 是 $A$ 的 krull dimension.

然后因为我们假设 $(x_1,...,x_n)$ 是极大理想中的正则序列, 所以 $ht(I)=n$. 我们假设了 $\mathfrak{q}$ 为 A 任意极小素理想, 那么 I 不包含 q. 所以 q 是非零因子.

i. 证明 $ht(J/\mathfrak{q})\ge n-1$. 因为 $J\subseteq I$, 所以 $ht(J/\mathfrak{q})\ge ht(I/\mathfrak{q})$. 因为 $(x_1,...,x_n)$ 为正则序列, 所以 $ht(I/q)=n-1$ (因为 $\mathfrak{q}$ 不包含在 $I$ 里) . 从而我们得出 $ht(J/\mathfrak{q})\ge n-1$.

ii. 证明 $ht(J/\mathfrak{q})\le n$. 这里通过 Krull’s Hauptidealsatz, 我们得出 $ht(J/\mathfrak{q})\le dim(A/\mathfrak{q})$. q 是极小素理想, 我们知道 $dim(A/q)=dimA-1$ [Hartshorne.I.1.8A.(b)]. 因此, 由 $ht(I)=n\le dimA$ 得出 $n-1\le dim(A/\mathfrak{q})$. 所以 $ht(J/\mathfrak{q})\le n$.

所以, $ht(J/\mathfrak{q})=n$.

https://math.stackexchange.com/questions/576347/height-of-ideal-generated-by-regular-sequence

我使用 Arden 引理, 尝试转化 DFA 到 regex 遇到问题.

是|.

办法: 给定 DFA, 我们令初始的字符为 Q. 对于每一个状态我们将其表示成指向状态和转移用的字符的串接, 对于多个指向状态我们+起来 (1). 表示完成后, 我们消元 (消状态) , 对于每一个退出状态 R, 我们可以表示成 R=Q+RP 的形式. 注意, 这就是一个只有一个状态的 DFA, 其结构如下: 字符 Q 进入这个状态 (它也是退出状态) , 这个状态自指, 转移字符为 P. 自然地, QP* 就是我们的目标 regex, 其中 * 是克林闭包. 对于多个退出状态的 DFA 我们将他们|起来.

问题 (1): 对于 P, 因为我们之前把具有多个指向状态的状态表示成这些指向状态和转移字符的串接的+. 这个+应该直接视为 regex 的+吗? 我网上找了一圈好像都是这么干的, 但这也太诡异. 我思考, 感觉是|, 但我又去 online regex 检查了几个例子, 也不对. 困惑!

刚看了点代数拓扑和微分几何, 想问问李群和基本群能联系起来吗

如题

如果你想问的是 “基本群能否以自然的方式成为不离散的李群”, 答案是否定的.