丁石孙老师的代数学引论 Galois 理论部分的最后一道题:
证明 在 上不能用根式解.
向大家求教
命题不成立, Master 和 BCJ 的回复都给出了适当的反例.
设 V,W 是域 K 上的两个线性空间, 映射 f:V→W. 如果对 V 中任意的线性相关的向量组 {x1.⋯,xn}, 它们的像 {f(x1),⋯,f(xn)} 是 W 中的线性相关的向量组. 那么是否一定有 f 是线性映射?
两者使用同样的记号但是含义感觉无法对上. 空间层下叹与上星伴随而稳定情形与上叹 (光滑情形为上星的 shift) 伴随, 感到奇怪. 有一些头绪但尚未想明白, 空间层下叹可视为余层前推, 而紧支前推也是余层, 似乎有所联系.
Representing Homology Classes by Piecewise Smooth Cycles
Assume X is a differentiable manifold of dimension n, A∈Hk(X;Z) and B∈Hn−k(X;Z) two homology classes in X, then can we represent them as “piecewise smooth cycles"? This is in section 4 of Griffith&Harris, which aimed to define the “intersection number" of two homology classes A and B, but I doubt whether this is well-defined since it seems not reasonable to represent an arbitrary homology classes by a union (and possibly with multiplicities) of smooth submanifolds of arbitrary dimension.
codim=1, 2 的时候是对的, 其它的就不知道了. Thom 在 Quelques propriétés globales des variétés différentiables 讨论过这种问题. 我前面说的两种情况可以在 Bredon 的 “geometry and topology” 里面找到证明.
考虑系数是 Z/2Z 的话结果就会好一些, Thom 在那篇文章证明了: 如果 M 是一个闭, 维数为 n 的流形, 那么它的所有维数小于 n/2 的 (系数取 Z/2Z) 同调群都可以被子流形表出.
设 C 是一个稳定模型范畴, f:X→Y 是里面的一个映射, 那么为什么 f 会给出一个余纤维序列 XfY→Z?
我们可以通过余纤维替换得到一个余纤维对象之间的余纤维化 X′f′Y′, f′ 的余纤维映射 Y′→Z′ 就给出了一个余纤维序列 X′→Y′→Z′, 然后这里我不知道怎么样找到一个对象 Z 使得 XfY→Z 使得这个序列同构于余纤维序列 X′→Y′→Z′. 我试着用推出, 但是似乎推出并不能给出一个序列的同构.
设 R 是整环, 它的分式域记作 F , 对于 R 的素理想 p∈Spec(R), 设 Rp 是环 R 被素理想 p 的补集 R∖p 局部化后得到的局部环. 于是有 R⊂Rp⊂F. 证明: ∩p∈Spec(R)Rp=R.