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一道 Galois 理论习题

丁石孙老师的代数学引论 Galois 理论部分的最后一道题:

证明 $x^7-1$ 在 ${\mathbb{F}}_3$ 上不能用根式解.

向大家求教

很难理解这里的根式可解是什么意思, 因为有限域的有限扩张按照通常对于根式可解的定义, 都是可解的

这是因为其分裂域是 ${\mathbb{F}}_{27}$, 是 Artin–Schreier 扩张.

一个映射把任何线性相关组映成线性相关组, 那么它是否一定是线性的?

命题不成立, Master 和 BCJ 的回复都给出了适当的反例.

设 $V,W$ 是域 $K$ 上的两个线性空间, 映射 $f:V\to W$. 如果对 $V$ 中任意的线性相关的向量组 $\{x_1.\cdots ,x_n\}$, 它们的像 $\{f(x_1),\cdots ,f(x_n)\}$ 是 $W$ 中的线性相关的向量组. 那么是否一定有 $f$ 是线性映射?

可以看出 $V$, $W$ 都一维时, 只要 $f$ 把 $0$ 映至 $0$ 就会满足这个条件, 所以未必线性.

看上去至少三维就可以

可以取 $f(x)=\lambda (x)\cdot g(x)$, 其中 $\lambda :V\to K$ 是任意 (集合间) 映射, $g:V\to W$ 是线性映射. 除此也还有别的例子, 例如 $f:K^n\to K^n$ 保持 $x_1$ 轴不动, 把其他所有点都投影到超平面 $x_1=0$ 上.

线性代数幺半群的单位群是开的吗?

线性代数幺半群的单位群一定是开的吗, 在 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007

在 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007

为啥显示不全......

空间层/topos 下叹与 abel 层下叹

两者使用同样的记号但是含义感觉无法对上. 空间层下叹与上星伴随而稳定情形与上叹 (光滑情形为上星的 shift) 伴随, 感到奇怪. 有一些头绪但尚未想明白, 空间层下叹可视为余层前推, 而紧支前推也是余层, 似乎有所联系.

前者记作 $f_{!}$ 一般是在 $f$ 是同一个 topos 里面不同对象的映射这个情况. 此时相当于平展映射, $f^{!}=f^{\ast }$. 一般情况 $f^{\ast }$ 的左伴随大概记作 $f_{♮}$.

但是如果我没有理解错空间层的平展映射感觉要求并不高 (尤其和代数几何之平展相较) , 比如拓扑空间到点都是.

没错, 伦型之间的映射确实都是平展的

但是对伦型谈通常拓扑及在其下的层是没有意义的

抱歉我想说的拓扑空间指 CW 复形或一般局部可缩拓扑空间

原来还是 verdier 对偶 (HA 5.5.5.1)

代数簇的 singular locus

设 $X$ 是一个不可约代数簇, 那么它的 singular locus 是 (拓扑) 连通的吗

当然不是, 比如平面不可约曲线完全可以有多个奇点

合理, 我犯蠢了.

Representing Homology Classes by Piecewise Smooth Cycles

Assume $X$ is a differentiable manifold of dimension $n$, $A\in H_k(X;\mathbb{Z})$ and $B\in H_{n-k}(X;\mathbb{Z})$ two homology classes in $X$, then can we represent them as “piecewise smooth cycles"? This is in section 4 of Griffith&Harris, which aimed to define the “intersection number" of two homology classes $A$ and $B$, but I doubt whether this is well-defined since it seems not reasonable to represent an arbitrary homology classes by a union (and possibly with multiplicities) of smooth submanifolds of arbitrary dimension.

codim=1, 2 的时候是对的, 其它的就不知道了. Thom 在 Quelques propriétés globales des variétés différentiables 讨论过这种问题. 我前面说的两种情况可以在 Bredon 的 “geometry and topology” 里面找到证明.

考虑系数是 Z/2Z 的话结果就会好一些, Thom 在那篇文章证明了: 如果 M 是一个闭, 维数为 n 的流形, 那么它的所有维数小于 n/2 的 (系数取 Z/2Z) 同调群都可以被子流形表出.

“小于 n/2 ”->“小于等于 n/2”

还可以考虑如下问题: 两个子流形如果对应相同的同调类, 那么它们有什么关系. 我猜它们大概是配边的, 但是不知道也没找到证明.

微分流形

怎样证明 $1$ 维紧连通流形同胚于 ${\mathbb{S}}_1$; $1$ 维非紧连通流形同胚于 $\mathbb{R}.$

这个是纯组合的 argument. 可以参见 Lee 的 Introduction to Topological Manifolds 第 5 章.

有没有其他证明, 这是刚讲了流形的定义下面的习题

态射怎么给出余纤维序列

设 $\mathcal{C}$ 是一个稳定模型范畴, $f:X\to Y$ 是里面的一个映射, 那么为什么 $f$ 会给出一个余纤维序列 $X\stackrel{f}{\to }Y\to Z$?

我们可以通过余纤维替换得到一个余纤维对象之间的余纤维化 $X^{\prime }\stackrel{f^{\prime }}{\to }{Y}^{\prime }$, $f^{\prime }$ 的余纤维映射 $Y^{\prime }\to Z^{\prime }$ 就给出了一个余纤维序列 $X^{\prime }\to Y^{\prime }\to Z^{\prime }$, 然后这里我不知道怎么样找到一个对象 $Z$ 使得 $X\stackrel{f}{\to }Y\to Z$ 使得这个序列同构于余纤维序列 $X^{\prime }\to Y^{\prime }\to Z^{\prime }$. 我试着用推出, 但是似乎推出并不能给出一个序列的同构.

btw, 这里的同构我指的是同伦等价 (即 $X,Y,Z$ 分别跟 $X^{\prime },Y^{\prime },Z^{\prime }$ 弱等价并且对应的态射形成交换图)

我已经明白了. 这个不是在 $\mathcal{C}$ 里面做的.

一道环论/交换代数的习题, 结论还挺漂亮.

设 $R$ 是整环, 它的分式域记作 $F$ , 对于 $R$ 的素理想 $\mathfrak{p}\in Spec\left(R\right)$, 设 $R_{\mathfrak{p}}$ 是环 $R$ 被素理想 $\mathfrak{p}$ 的补集 $R\setminus \mathfrak{p}$ 局部化后得到的局部环. 于是有 $R\subset R_{\mathfrak{p}}\subset F$. 证明: ${\cap }_{\mathfrak{p}\in Spec\left(R\right)}{R}_{\mathfrak{p}}=R$.

这是标准的结论

找了几本书没找着这个结论, 请问同学能给个出处吗?

我刚刚自己找到了这个命题的证明: 任取 $a\in {\cap }_{\mathfrak{p}\in Spec\left(R\right)}{R}_{\mathfrak{p}}$, 则 $\mathfrak{b}=\left\{b\in R|ba\in R\right\}$ 是 $R$ 的一个理想. 如果 $\mathfrak{b}\ne R$, 则 $\mathfrak{b}$ 一定包含于一个极大理想 $\mathfrak{m}$ 中, 而且 $a\in R_{\mathfrak{m}}$. 则存在 $s\in R\setminus \mathfrak{m}$ 使得 $sa\in R$, 则有 $s\in \mathfrak{b}$. 这与 $\mathfrak{b}\subset \mathfrak{m}$ 矛盾. 于是 $\mathfrak{b}=R,1\in \mathfrak{b},a=1\cdot a\in R$. 参考 Louis Halle Rowen, Graduate Algebra:Commutative View, p233,Proposition 8.21

这个十分明显. 说 $a\in F$ 在每个 $R_{\mathfrak{p}}$ 中, 相当于说模 $(R+Ra)/R$ 的每个局部化都是 $0$, 所以它就是 $0$, 所以 $a\in R$. 参见局部化条目当前版本的命题 2.5.

紧对象是紧空间吗

在拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 里面给定一类态射 $I=\{{\mathbb{S}}^{n-1}\hookrightarrow {\mathbb{D}}^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. 我们记 $I-\mathrm{cell}$ 为 $I$ 中的元素的推出的余极限, 即正向系统$$A=X_0\stackrel{f_0}{\to }{X}_1\to \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\to }{X}_n\to \cdots$$满足每个 $f_n:X_n\to X_{n+1}$ 都有下述推出交换图: 其中 $i_{\alpha }\in I$. 我们称一个拓扑空间 $Z$ 是 $I$-小的, 若 $\mathsf{Top}(Z,-)$ 满足$${\mathrm{colim}}_n\mathsf{Top}(Z,X_n)\stackrel{\simeq }{\to }\mathsf{Top}(Z,{\mathrm{colim}}_n{X}_n),$$对任何上述序列 $A=X_0\to X_1\to \cdots$ 成立. 如果 $Z$ 是 $I$-小的, 那么 $Z$ 是否是一个紧拓扑空间?

你这个 $I$-小看上去会得到有限胞腔复形的收缩, 所以应该是紧空间.