讨论室: 学术

关于此版块

不可编辑

这个页面是讨论数学问题的地方. 如果要讨论关于香蕉空间网站的问题, 请前往讨论室: 香蕉空间.

一道 Galois 理论习题

3
代数群 (讨论贡献)

丁石孙老师的代数学引论 Galois 理论部分的最后一道题:

证明 上不能用根式解.

向大家求教

Fyx1123581347 (讨论贡献)

很难理解这里的根式可解是什么意思, 因为有限域的有限扩张按照通常对于根式可解的定义, 都是可解的

数学迷 (讨论贡献)

这是因为其分裂域是 , 是 Artin–Schreier 扩张.

一个映射把任何线性相关组映成线性相关组, 那么它是否一定是线性的?

4
由鲖阳路人做出的摘要

命题不成立, Master 和 BCJ 的回复都给出了适当的反例.

鲖阳路人 (讨论贡献)

是域 上的两个线性空间, 映射 . 如果对 中任意的线性相关的向量组 , 它们的像 中的线性相关的向量组. 那么是否一定有 是线性映射?

Master (讨论贡献)

可以看出 , 都一维时, 只要 映至 就会满足这个条件, 所以未必线性.

数学迷 (讨论贡献)

看上去至少三维就可以

BCJ (讨论贡献)

可以取 , 其中 是任意 (集合间) 映射, 是线性映射. 除此也还有别的例子, 例如 保持 轴不动, 把其他所有点都投影到超平面 上.

线性代数幺半群的单位群是开的吗?

3
Dead end (讨论贡献)

线性代数幺半群的单位群一定是开的吗, 在 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007

Dead end (讨论贡献)

在 https://link.springer.com/content/pdf/10.1007

Dead end (讨论贡献)

为啥显示不全......

空间层/topos 下叹与 abel 层下叹

7
Diamond (讨论贡献)

两者使用同样的记号但是含义感觉无法对上. 空间层下叹与上星伴随而稳定情形与上叹 (光滑情形为上星的 shift) 伴随, 感到奇怪. 有一些头绪但尚未想明白, 空间层下叹可视为余层前推, 而紧支前推也是余层, 似乎有所联系.

数学迷 (讨论贡献)

前者记作 一般是在 是同一个 topos 里面不同对象的映射这个情况. 此时相当于平展映射, . 一般情况 的左伴随大概记作 .

Diamond (讨论贡献)

但是如果我没有理解错空间层的平展映射感觉要求并不高 (尤其和代数几何之平展相较) , 比如拓扑空间到点都是.

Diamond (讨论贡献)

抱歉我想说的拓扑空间指 CW 复形或一般局部可缩拓扑空间

Diamond (讨论贡献)

原来还是 verdier 对偶 (HA 5.5.5.1)

WildCat (讨论贡献)

是一个不可约代数簇, 那么它的 singular locus 是 (拓扑) 连通的吗

数学迷 (讨论贡献)

当然不是, 比如平面不可约曲线完全可以有多个奇点

WildCat (讨论贡献)

合理, 我犯蠢了.

Representing Homology Classes by Piecewise Smooth Cycles

5
WildCat (讨论贡献)

Assume is a differentiable manifold of dimension , and two homology classes in , then can we represent them as “piecewise smooth cycles"? This is in section 4 of Griffith&Harris, which aimed to define the “intersection number" of two homology classes and , but I doubt whether this is well-defined since it seems not reasonable to represent an arbitrary homology classes by a union (and possibly with multiplicities) of smooth submanifolds of arbitrary dimension.

Junyu*Cao (讨论贡献)

codim=1, 2 的时候是对的, 其它的就不知道了. Thom 在 Quelques propriétés globales des variétés différentiables 讨论过这种问题. 我前面说的两种情况可以在 Bredon 的 “geometry and topology” 里面找到证明.

Junyu*Cao (讨论贡献)

考虑系数是 Z/2Z 的话结果就会好一些, Thom 在那篇文章证明了: 如果 M 是一个闭, 维数为 n 的流形, 那么它的所有维数小于 n/2 的 (系数取 Z/2Z) 同调群都可以被子流形表出.

Junyu*Cao (讨论贡献)

还可以考虑如下问题: 两个子流形如果对应相同的同调类, 那么它们有什么关系. 我猜它们大概是配边的, 但是不知道也没找到证明.

Ideology (讨论贡献)

怎样证明 维紧连通流形同胚于 ; 维非紧连通流形同胚于

WildCat (讨论贡献)

这个是纯组合的 argument. 可以参见 Lee 的 Introduction to Topological Manifolds 第 5 章.

Ideology (讨论贡献)

有没有其他证明, 这是刚讲了流形的定义下面的习题

WildCat (讨论贡献)

是一个稳定模型范畴, 是里面的一个映射, 那么为什么 会给出一个余纤维序列 ?

我们可以通过余纤维替换得到一个余纤维对象之间的余纤维化 , 的余纤维映射 就给出了一个余纤维序列 , 然后这里我不知道怎么样找到一个对象 使得 使得这个序列同构于余纤维序列 . 我试着用推出, 但是似乎推出并不能给出一个序列的同构.

WildCat (讨论贡献)

btw, 这里的同构我指的是同伦等价 (即 分别跟 弱等价并且对应的态射形成交换图)

WildCat (讨论贡献)

我已经明白了. 这个不是在 里面做的.

一道环论/交换代数的习题, 结论还挺漂亮.

5
从周 (讨论贡献)

是整环, 它的分式域记作 , 对于 的素理想 , 设 是环 被素理想 的补集 局部化后得到的局部环. 于是有 . 证明: .

Fyx1123581347 (讨论贡献)

这是标准的结论

从周 (讨论贡献)

找了几本书没找着这个结论, 请问同学能给个出处吗?

从周 (讨论贡献)

我刚刚自己找到了这个命题的证明: 任取 , 则 的一个理想. 如果 , 则 一定包含于一个极大理想 中, 而且 . 则存在 使得 , 则有 . 这与 矛盾. 于是 . 参考 Louis Halle Rowen, Graduate Algebra:Commutative View, p233,Proposition 8.21

数学迷 (讨论贡献)

这个十分明显. 说 在每个 中, 相当于说模 的每个局部化都是 , 所以它就是 , 所以 . 参见局部化条目当前版本的命题 2.5.

WildCat (讨论贡献)

在拓扑空间范畴 里面给定一类态射 . 我们记 中的元素的推出的余极限, 即正向系统满足每个 都有下述推出交换图: 其中 . 我们称一个拓扑空间 -小的, 若 满足对任何上述序列 成立. 如果 -小的, 那么 是否是一个紧拓扑空间?

数学迷 (讨论贡献)

你这个 -小看上去会得到有限胞腔复形的收缩, 所以应该是紧空间.