分裂域

分裂域是一类域扩张.

1定义

定义 1.1 (多项式的分裂). 是域扩张, 称为在 上分裂若 可以写成 中一次多项式的乘积. 即 的根都在 中.

定义 1.2 (分裂域). 是域, . 分裂域是指域扩张 , 满足

上分裂.

对任意包含 的真子域 , 不在 上分裂.

分裂域总是存在的 (命题 2.2).

2存在性

引理 2.1. 是域, 是不可约多项式, 则存在域扩张 使得 中有根.

证明. 考虑商环 . 对于任意 , 若 , 则 互素, 由 Bézout 等式, 存在 使得因此在 有乘法逆元 . 故 的域扩张. 而 中的像就是 的根.

命题 2.2. 分裂域存在.

证明. 只用证明存在有限扩张 使得 上分裂. 然后取 中最小的满足 在其上分裂的域 即可 (有限扩张保证了总能找到最小的). 我们证明有有限扩张使得 在其上有根, 然后对 的次数进行归纳即可. 不妨假设 不可约, 则由引理 2.1 知命题成立.