代数闭包

代数闭包是包含 的最小代数闭域, 也是向 添加其中所有非常值多项式的根而得到的域.

1定义

定义 1.1 (代数闭包).. 如域扩张 代数扩张, 且 代数闭域, 则称 代数闭包.

代数闭包总存在 (定理 2.1), 并在相差同构的意义下的唯一.

2存在性

定理 2.1. 每个域都有代数闭包. 若 的代数闭包, 为代数闭域, 则存在 -嵌入 (即保持 不动的嵌入) ; 如 也是代数闭包, 则该嵌入是同构. 特别地, 的代数闭包都同构, 将其记作 .

证明依赖选择公理, 以 Zorn 引理的方式应用.

证明. 先证存在性. 取集合 满足 . 考虑集合及其上的偏序: 且含入映射是域同态. 它显然非空, 因为平凡扩张属于它; 显然每条链都有上界, 就是把那些扩张并起来. 故它有极大元 . 下证 代数闭. 设 为代数扩张, 则 也是代数扩张. 由下面的引理, , 故存在集合单射 , 即存在单射 , . 用 的域结构搬到 上去, 得代数扩张 , . 由 极大立得 , 即 , 故 代数闭.

再证唯一性. 考虑集合及其上的偏序: . 它显然非空, 因为平凡扩张属于它; 显然每条链都有上界, 就是把扩张和映射都并起来. 故它有极大元 , . 要证 . 若其不然, 则存在 . 由单扩张的结构, 对首一不可约 . 由于 代数闭, 有根 , 于是有嵌入 , , 延拓 , 与 的极大性矛盾! 故 , 即存在 -嵌入 .

也是代数闭包, 则它是代数扩张, 从而 是代数扩张, 由 代数闭知 .

3例子

代数闭域的代数闭包是其自身.

有理数 的代数闭包是代数数.

实数 的代数闭包是复数.

4性质

大小

引理 4.1. 为代数扩张. 则 .

证明.. 先证 . 由于每个多项式都是常数或者对某个正整数 次多项式, 而 次多项式的集合通过取系数能嵌入 , 故再证引理本身. 考虑映射「取极小多项式」. 由多项式零点只有有限个, 得基数算术的具体细节参见基数.

术语翻译

代数闭包英文 algebraic closure德文 algebraischer Abschluss (m)法文 clôture algébrique (f)