Galois 群

Galois 群是域扩张的自同构群, 它描述了域扩张的对称性. 通过 Galois 群, 可以使用群论的工具研究域扩张.

1定义

定义 1.1. 对域扩张 $L/K$ , 其自同构群, 即保持 $K$ 中所有元素不变的 $L$ 的自同构在复合运算下构成的群, 称为域扩张 $L/K$ 的 Galois 群, 记为 $\mathrm{Gal}(L/K)$ .

注 1.2. 当 $L/K$ 是 Galois 扩张时, 我们经常把用于其 Galois 群上的形容词移用到扩张上. 例如, 当 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 是 Abel 群, 循环群, 可解群时, 我们就分别称对应的扩张 $L/K$ 是 Abel 扩张, 循环扩张, 可解扩张.

2性质

参见: Galois 理论

命题 2.1. 作为集合, $\mathrm{Gal}(L/K)\subseteq {\mathrm{Hom}}_K(L,\overline{K})$, 其中 $\overline{K}$ 是 $K$ 的代数闭包. 当 $K/L$ 是正规扩张时, 取到等号.

推论 2.2. 如果 $L/K$ 是有限扩张, 则有 $|\mathrm{Gal}(L/K)|\le [L:K]$. 当且仅当 $K/L$ 是 Galois 扩张时, 取到等号.

拓扑

可以在 Galois 群上引入一拓扑, 称为 Krull 拓扑, 使其成为一个拓扑群.

定义 2.3. Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 在单位元处的邻域基为$$\{\mathrm{Gal}(L/K^{\prime }){\}}_{K^{\prime }}.$$其中 $K^{\prime }$ 取遍 $K$ 的有限扩张. 这样得到的 $\mathrm{Gal}(L/K)$ 上的拓扑称为 Krull 拓扑.

命题 2.4. Galois 群是一个射有限群. 特别地, 对有限 Galois 扩张 $L/K$ , 其 Galois 群取离散拓扑.

上同调

参见: Galois 上同调

群的上同调是研究群论的有力工具, 一些 Galois 群的上同调可以被具体计算出来, 或是具有在数论上的意义.

3例子

定义 3.1. 一个域 $K$ 的绝对 Galois 群, 记为 $\mathrm{Gal}(K)$ , 是 $\mathrm{Gal}(K^s/K)$ , 其中 $K^s$ 是 $K$ 的可分闭包.

4类比

(可能可以放入 Galois 对应或 Galois 联络的页面详述)

Galois 理论与覆叠空间理论有着良好的类比. 此时 Galois 群即对应于覆叠变换群. 特别地, 绝对 Galois 群对应于基本群.

5相关概念

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基本群

术语翻译

Galois 群 • 英文 Galois group • 德文 Galoisgruppe (f) • 法文 groupe de Galois (m)