序域

序域就是带有全序的域, 例如实数域. 这一概念最初由 David Hilbert 等人提出. 此后 Emil Artin 进一步发展其理论, 以此解决平方和问题.

1定义

定义 1.1. 序域指域 $F$ 附带全序 $<$, 满足:

1.	对 $a,b,c\in F$, $a<b$ 推出 $a+c<b+c$.
2.	对 $a,b,c\in F$, 如 $c>0$, 则 $a<b$ 推出 $ac<bc$.

注 1.2. 以上条件 1 说明 $a<b⟺b-a>0$, 故而全序 $<$ 与子集 $P=\{a\in F\mid a>0\}$ 互相决定. 不难发现, 子集 $P\subseteq F$ 定义序结构当且仅当

1.	$0\notin P$. 对 $a,b\in P$, 有 $a+b,ab\in P$.
2.	对 $a\ne 0$, $a$ 和 $-a$ 恰有一个属于 $P$.

于是对任意 $a\in F^{\times }$, 由 $a^2=(-a{)}^2$ 而 $a,-a$ 有一个属于 $P$, 得 $a^2\in P$. 换言之, 非零元的平方大于 $0$. 故在序域中, 非零元的平方和非零.

定义 1.3. 形式实域指满足非零元平方和非零的域.

注 1.4. 所以序域一定形式实. 下面将会看到, 形式实域上都可以赋序.

2性质

定理 2.1. 如 $F$ 是序域, $a\in F$ 为正, 则 $F(\sqrt{a})$ 有唯一的满足 $\sqrt{a}>0$ 且与 $F$ 相容的序结构.

证明. 如 $a$ 就是平方元自不必证. 如 $a$ 不是平方元, 定义 $x+y\sqrt{a}>0$ 当且仅当 $x\ge 0,y\ge 0$ 不全为 $0$, 或者 $x>0,y\le 0$ 且 $x^2>-y^{2}a$, 或者 $x\le 0,y>0$ 且 $y^{2}a>-x^2$. 不难验证这的确定义序结构, 而且要使 $\sqrt{a}>0$ 必须这样定义.

$\square$

定理 2.2. 形式实域上都可以赋序.

证明. 定义预序为包含所有非零平方元, 且满足注 1.2 的条件 1 的子集. 那么由形式实域的定义, 所有非零元平方和就构成一个预序.

取形式实域 $F$, 则其上所有预序沿包含偏序构成偏序集. 由 Zorn 引理不难发现此偏序集有极大元, 记为 $P$. 下证 $P$ 满足注 1.2 的条件 2, 这样它就定义序结构.

对 $a\ne 0$, 由于 $a+(-a)=0\notin P$, 有 $a$ 和 $-a$ 至多一个属于 $P$. 现考虑$$P[a]=\{x+ay\mid x,y\in P\cup \{0\}不全为零\}.$$显然 $P[a]$ 仍对加法封闭; 由于 $(x+ay)(z+aw)=(xz+a^{2}yw)+a(xw+yz)$ 而 $a^2\in P$, $P[a]$ 也对乘法封闭. 如果 $0\notin P[a]$, 就有 $P[a]$ 是预序, 由 $P$ 的极大性知 $P[a]=P$, $a\in P$. 而如果 $0\in P[a]$, 则存在 $x,y\in P$ 使得 $x+ay=0$, 于是 $-a=xy(y^{-1}{)}^2\in P$. 综上, $a$ 和 $-a$ 也至少一个属于 $P$, $P$ 也就满足注 1.2 的条件 2.

$\square$

定理 2.3. 设形式实域 $F$ 中元素 $a$ 不是平方和. 则 $F(\sqrt{-a})$ 仍然形式实.

证明. 不妨设 $F(\sqrt{-a})⫌F$. 如 $F(\sqrt{-a})$ 不形式实, 则存在 $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n\in F$, 不全为 $0$, 使得$$\sum _{i=1}^n(x_i+y_i\sqrt{-a}{)}^2=0,$$即$$\sum _{i=1}^n(x_i^2-y_i^{2}a)=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=0.$$特别地$$a=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}{{\sum }_{i=1}^n{y}_i^2}=\frac{\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\right)\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2\right)}{{\left({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2\right)}^2}$$是平方和, 与条件矛盾.

$\square$

定理 2.4. 形式实域的奇数次扩张仍然形式实.

证明. 对次数归纳, 只需证单扩张情形. 设扩张为 $F(\alpha )/F$, $\alpha$ 的极小多项式为 $f(x)$, 次数为奇数 $d$. 由归纳, 可设小于 $d$ 次的奇数次扩张都形式实. 如 $F(\alpha )\cong F[x]/f(x)$ 不形式实, 相当于存在小于 $d$ 次的非零多项式 $g_1,\dots ,g_n\in F[x]$, 使得$$f|\sum _{i=1}^n{g}_i^2.$$可不妨设 $g_1,\dots ,g_n$ 互素. 设 ${\sum }_{i=1}^n{g}_i^2=fh$, 则由于 $f$ 为奇数次, 有 $h$ 也为奇数次, 且次数小于 $f$. 于是 $h$ 的素因子分解式中必有奇数次者, 任取其奇数次不可约因式记为 $p$. 考虑扩张 $F[x]/p(x)$. 其为奇数次, 且次数小于 $d$, 由归纳假设知其形式实; 但 $p\mid fh={\sum }_{i=1}^n{g}_i^2$, 而由 $g_1,\dots ,g_n$ 互素知它们在 $F[x]/p(x)$ 中的像不全为 $0$, 与 $F[x]/p(x)$ 形式实矛盾! 故 $F[x]/f(x)$ 形式实, 命题得证.

$\square$

推论 2.5. 设 $F$ 是序域, $K/F$ 是奇数次扩张. 则 $K$ 有与 $F$ 相容的序结构.

证明. 首先注意证明该推论时可以将 $F$ 扩大. 对 $F$ 不断使用定理 2.1, 可不妨设 $F$ 中正数都是平方. 现在由定理 2.4, $K$ 形式实, 故有序结构. 现在显然该序结构与 $F$ 相容, 因为 $F$ 中正数都是平方, 只有一个序结构.

$\square$

注 2.6. 这里序结构未必唯一, 个数可用 Sturm 定理算出.

3例子

•	实数域是序域. 显然序域的子域都是序域, 故特别地有理数、实代数数等域是序域.
•	正特征的域都不形式实, 因为一些 $1$ 加起来得 $0$.
•	复数域当然不形式实.
•	一个域可以有多个序结构. 例如 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 到 $\mathbb{R}$ 的两个嵌入 (即 $\sqrt{2}\mapsto \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{2}\mapsto -\sqrt{2}$) 就诱导不同的序结构.

4相关概念

•	实闭域
•	平方和问题

术语翻译

序域 • 英文 ordered field • 德文 geordneter Körper • 法文 corps ordonné • 拉丁文 corpus ordinatum • 古希腊文 διατεταγμένον σῶμα