实闭域

实闭域是代数闭域在序域理论中的对应物, 指的是没有非平凡保序代数扩张的序域.

1定义

命题 1.1. 以下几个概念等价:

1.	没有非平凡保序代数扩张的序域.
2.	没有非平凡奇数次扩张, 且所有正数都有平方根的序域.
3.	没有非平凡形式实代数扩张的形式实域.
4.	没有非平凡奇数次扩张, 且对每个元素 $a$, $a$ 和 $-a$ 必有一个有平方根, 这样的形式实域.

这样的形式实域序结构唯一: 一个元素大于等于 $0$ 当且仅当它是平方元.

证明. 显然 4 导致序结构唯一且为命题中描述, 而马上就会看到 3 推 4, 这样便得到命题最后一句话. 以下证明等价性. 以 $F$ 记所讨论的域.

•	3 推 4: 如 $F$ 满足 3, 由形式实域的理论, 形式实域的奇数次扩张仍形式实, 故 $F$ 无非平凡奇数次代数扩张. 由形式实, $a$ 与 $-a$ 不能都是平方和; 不妨设 $a$ 不是, 这样仍由形式实域的理论, $F(\sqrt{-a})$ 形式实, 于是 $F=F(\sqrt{-a})$, $-a$ 在 $F$ 中能开平方根.
•	3 推 1、2 等价于 4: 显然.
•	1 推 2: 与 3 推 4 类似, 但用序域的对应定理.
•	4 推 3: 设 $F$ 满足 4, $K/F$ 为代数扩张, $K$ 形式实, 要证明 $K=F$. 由于形式实域特征 $0$, 可不妨设 $K/F$ 为有限可分扩张; 取 Galois 闭包不妨设其为有限 Galois 扩张. 取 Galois 群 $G$ 的 Sylow $2$-子群, 设其对应的子扩张为 $E$, 则 $E/F$ 为奇数次, 故由条件有 $E=F$, 即 $K/F$ 次数为 $2$ 的幂, $G$ 为 $2$-群. 如 $G$ 非平凡, 则它有指数 $2$ 的子群 $H$, 对应一个二次扩张. 特征非 $2$ 的域二次扩张一定是元素开平方根, 设为 $F(\sqrt{a})$. 于是 $a$ 在 $F$ 中没有平方根, 由条件 $-a$ 就有平方根. 这样由于 $(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{-a}{)}^2=0$, $F(\sqrt{a})$ 不形式实, 矛盾! 故 $G$ 平凡, 即 $K=F$.

$\square$

定义 1.2. 以上命题 1.1 所描述的概念称为实闭域.

也有与代数闭包类似的实闭包概念.

定义 1.3 (实闭包). 序域 $F$ 的实闭包指 $F$ 的保序实闭代数扩张. 换言之, 序域 $R\supseteq F$ 是 $F$ 的实闭包, 指的是 $R$ 的序限制在 $F$ 上是 $F$ 的序, $R$ 实闭, 且 $R/F$ 是代数扩张.

定理 1.4. 序域的实闭包存在唯一. 事实上, 唯一性可以加强为: 对序域 $F$, 实闭域 $K$, 以及序域同态 $f:F\to K$, $f$ 可唯一延拓为从 $F$ 的实闭包到 $K$ 的序域同态.

证明. 对序域 $F$, 任取其代数闭包 $\Omega$ 并考虑集合$$\{E\mid F\subseteq E\subseteq \Omega ,E/F是序域扩张\},$$附带包含偏序. 对其用 Zorn 引理易知其有极大元, 这就是 $F$ 的实闭包.

(后面好像需要 Sturm 定理.)

$\square$

2性质

实闭离代数闭不远:

命题 2.1. 如 $F$ 实闭, 则 $F(\sqrt{-1})$ 代数闭.

证明. 先证 $F(\sqrt{-1})$ 中每个元素都有平方根. 任取元素 $x+y\sqrt{-1}\in F(\sqrt{-1})$, 其中 $x,y\in F$. 由于 $-1$ 由平方根, 取相反数可设 $x>0$. 再取 Galois 共轭可设 $y>0$. 现在不难验证$${\left(\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2+y^2}}{2}}+\sqrt{\frac{-x+\sqrt{x^2+y^2}}{2}}\sqrt{-1}\right)}^2=x+y\sqrt{-1}.$$注意实闭保证了系数包含的平方根都能在 $F$ 中开出来.

如 $F(\sqrt{-1})$ 不代数闭, 由特征 $0$ 可取有限可分扩张 $K/F(\sqrt{-1})$. 在 $F$ 上取 Galois 闭包, 可设 $K/F$ 为 Galois 扩张, Galois 群为 $G$. 观察 $G$ 的 Sylow $2$-子群, 其对应 $F$ 的奇数次扩张; 而 $F$ 无非平凡奇数次扩张, 故 $G$ 为 $2$-群. 设 $F(\sqrt{-1})$ 对应的子群为 $H$, 则 $H$ 也是 $2$-群. 取其指数为 $2$ 的子群 $N$, 对应 $F(\sqrt{-1})$ 的二次扩张, 与 $F(\sqrt{-1})$ 中每个元素都有平方根矛盾! 故 $F(\sqrt{-1})$ 代数闭.

$\square$

比较惊人的事情是, 离代数闭不远的域一定实闭:

定理 2.2 (Artin–Schreier). 如一个域自身不代数闭, 而代数闭包在其上次数有限, 则其为实闭.

证明. 设 $k$ 为满足定理中条件的域, $K$ 为其代数闭包, $p=\mathrm{char}k$. 首先 $k$ 完美: 如不然, 存在元素 $a\in k$ 不是 $p$ 次方, 则由引理 2.3 知对任意正整数 $m$, $X^{p^m}-a$ 不可约; 取 $p^m>[K:k]$ 即得矛盾.

于是 $K/k$ 为有限可分扩张. 它显然正规, 于是为有限 Galois, 设 Galois 群为 $G$. 任取 $G$ 的素数阶子群 $H$, 对应子扩张 $F$, 设 $[K:F]=|H|=\ell$. 如 $\ell =p$, 则由引理 2.5 知 $F$ 尚有 $p^2$ 次扩张, 与 $K$ 代数闭矛盾. 如 $\ell \ne p$, 则首先由添加 $\ell$ 次单位根的域扩张次数不多于 $\ell -1$ 而 $\ell$ 为素数, 知 $F$ 中已经有 $\ell$ 次单位根; 然后由 Kummer 理论知 $K$ 为添加 $F$ 中元素的 $\ell$ 次方根所得, 设为 $K=F(\sqrt[\ell ]{a})$; 于是由引理 2.3 知, 如 $\ell >2$ 则 $X^{{\ell }^2}-a$ 不可约, 即 $F$ 有 ${\ell }^2$ 次扩张, 矛盾! 故只能 $\ell =2$, $a\in -4F^4$.

现在我们知道 $G$ 的素数阶子群阶数只能为 $2$, 于是 $G$ 为 $2$-群. 此外还知道特征 $p\ne 2$, 且 $2$ 阶子群 $H$ 对应的扩张 $F$ 满足 $K=F(\sqrt{a})$, 其中 $a\in -4F^4$, 于是实际上 $K=F(\sqrt{-1})$. 不妨设 $H$ 在 $G$ 的中心里, 特别地 $H$ 是正规子群, $F/k$ 正规. 如果 $k⫋F$, 则如法炮制再取子扩张 $E$, $F=E(\sqrt{b})$; 由 $[K:E]=4$, 有 $X^8-b\in E[X]$ 可约, 故再用引理 2.3 知 $b\in -4E^4$. 这样 $F=E(\sqrt{-1})$, 与 $K=F(\sqrt{-1})$ 矛盾! 故只能 $k=F$.

现在已有 $[K:k]=2$, $K=k(\sqrt{-1})$, $\mathrm{char}k\ne 2$, 尚需证明 $k$ 实闭. 由于 $k$ 已经没有奇数次扩张, 故只需证:

•	对 $a\in k^{\times }$, $a$ 与 $-a$ 恰有一个是平方.
•	两个平方之和还是平方.

因为这样就会形式实, 且满足实闭的定义. 首先由于 $-1$ 不是平方, $a$ 与 $-a$ 不可能同时是平方. 其次如果 $a$ 不是平方, 则因为 $X^4-a$ 可约, 由引理 2.3 知 $a\in -4k^4$, 特别地 $-a$ 是平方. 最后对于两个平方之和 $x^2+y^2$, 由于 $K=k(\sqrt{-1})$ 代数闭, 存在 $u,v\in k$ 使得 $x+y\sqrt{-1}=(u+v\sqrt{-1}{)}^2$, 于是 $x^2+y^2=(u^2+v^2{)}^2$ 为平方. 这样就证明了 $k$ 实闭.

$\square$

引理 2.3. 固定域 $F$, 元素 $a\in F$, 以及正整数 $n$. 如对每个素数 $p\mid n$, $a$ 都不是 $p$ 次方元, 且当 $4\mid n$ 时 $a$ 不是四次方元的 $-4$ 倍, 则 $X^n-a\in F[X]$ 不可约.

注 2.4. 中学数学中有因式分解$$X^p-1=(X-1)(X^{p-1}+\cdots +1);$$$$X^4+4=(X^2-2X+2)(X^2+2X+2);$$该引理就是在说, 二项式中只有这两种能够因式分解.

引理 2.5. 设 $m$ 为正整数, $K/F$ 为特征 $p$ 域的 $p^{m-1}$ 次 Galois 扩张, Galois 群循环, 由元素 $\sigma$ 生成. 则:

1.	存在 $\beta \in K$ 满足 ${\mathrm{Tr}}_{K/F}(\beta )=1$.
2.	存在 $\alpha \in K$ 满足 $\sigma \alpha -\alpha ={\beta }^p-\beta$.
3.	Artin–Schreier 多项式 $X^p-X-\alpha \in K[X]$ 不可约; 设其一个根为 $\theta$, 则 $F(\theta )/F$ 为 $p^m$ 次 Galois 扩张, 包含 $K$, Galois 群循环, 被 $\sigma$ 的提升 ${\sigma }^{\ast }:\theta \mapsto \theta +\beta$ 所生成.

命题 2.6. 设 $F$ 是实闭域. 则一元有理函数域 $F(x)$ 的序结构一一对应于 $F$ 的 Dedekind 分割, 这里允许左集或右集为空.

3例子

•	由基本的数学分析, 实数域实闭. 由此, 依定义立得实代数数域实闭.
•	由以下模型论刻画, 超实数域实闭. 如用超滤子造超实数, 则也可逐坐标开平方、解奇数次方程, 来验证实闭域的定义.
•	超现实数除了太大不构成集合之外, 也实闭.

4模型论刻画

用模型论, 实闭域可刻画为在序域语言即 $(+,\cdot ,<)$ 下和实数初等等价者. 和代数闭域类似, 实闭域也有量词消去.

5相关概念

•	序域
•	平方和问题
•	O-极小

术语翻译

实闭域 • 英文 real closed field • 德文 reell abgeschlossener Körper • 法文 corps réel clos • 拉丁文 corpus reale clausum • 古希腊文 πραγματικὸν κλειστὸν σῶμα