实数

实数是一类, 是指可以被有理数任意逼近的数. 实数包括所有的有理数, 也包括很多别的元素, 例如 平方根 . 所有实数构成一个, 通常记为 .

实数是数学中最直观的对象之一. 在学习实数之前, 多数人对小数的概念已经熟练, 故而想象无限的小数也并不是困难的事. 但严格地定义 “什么是实数” 并不是件容易的事, 这通常是大学数学的第一课所讲授的内容.

实数是分析学中最基本的对象之一. 实数的分析学称为实分析, 其基础部分通常也称为微积分学. 另外, 测度论微分方程论等学科也是以实分析为基础而建立的.

作为拓扑空间, 实数域 通常被称为实直线. 实直线与自身的 Descartes 积 称为 Euclid 空间, 它是微分几何代数拓扑中若干构造的基础: 这些构造将 Euclid 空间拼接、粘合, 以得到更复杂的空间, 例如流形CW 复形.

1定义

实数有若干种等价的定义. 下面列举其中几种常见的定义方式.

通过 Dedekind 分割

定义 1.1. Dedekind 分割是指有理数 的一对非空子集 , 满足以下条件:

, 且 , 则 .

是有理数, 则 .

, 则存在 满足 .

, 则存在 满足 .

实数就是一个 Dedekind 分割. 所有实数的集合记为 .

例如,

对有理数 , 它对应的实数是 Dedekind 分割

实数 不是有理数, 它的 Dedekind 分割是

通过 Cauchy 列

实数也可以定义为有理数 的所有 Cauchy 列的等价类的集合, 也就是将实数集 定义为 完备化.

定义 1.2. 有理数 中的 Cauchy 列是指 中的序列 , 满足对任意自然数 , 存在自然数 , 使得对任意 , 有称 Cauchy 列 等价, 如果对任意自然数 , 存在自然数 , 使得对任意 , 有这定义了所有 Cauchy 列的集合上的等价关系.

实数定义为 Cauchy 列的等价类的集合. 换言之, 实数集 中 Cauchy 列的集合对上述等价关系的商集.

作为 Archimedes 完备序域

定理 1.3.同构意义下, 存在唯一序域 , 满足以下性质:

(完备性) 若子集 满足对任意 都有 , 则存在 , 使得对任意 都有 .

(Archimedes 公理) 对任意 , 存在正整数 , 使得 . 其中 代表

这个序域定义为实数域.

注 1.4. 若不要求 Archimedes 公理, 完备序域未必唯一. 也就是说, 存在非 Archimedes 完备序域.

例如, 形式 Laurent 级数 也是完备序域. 其中 小于任意正实数, 即形式 Laurent 级数为正当且仅当其最低次项系数为正. 但其不满足 Archimedes 性质, 因为 大于所有正整数.

2相关概念

术语翻译

实数英文 real number德文 reelle Zahl (f)法文 nombre réel (m)拉丁文 numerus realis (m)古希腊文 πραγματικὸς ἀριθμός (m)