实数

实数是一类数, 是指可以被有理数任意逼近的数. 实数包括所有的有理数, 也包括很多别的元素, 例如 $2$ 的平方根 $\sqrt{2}$. 所有实数构成一个域, 通常记为 $\mathbb{R}$.

实数是数学中最直观的对象之一. 在学习实数之前, 多数人对小数的概念已经熟练, 故而想象无限的小数也并不是困难的事. 但严格地定义 “什么是实数” 并不是件容易的事, 这通常是大学数学的第一课所讲授的内容.

实数是分析学中最基本的对象之一. 实数的分析学称为实分析, 其基础部分通常也称为微积分学. 另外, 测度论、微分方程论等学科也是以实分析为基础而建立的.

作为拓扑空间, 实数域 $\mathbb{R}$ 通常被称为实直线. 实直线与自身的 Descartes 积 ${\mathbb{R}}^n$ 称为 Euclid 空间, 它是微分几何和代数拓扑中若干构造的基础: 这些构造将 Euclid 空间拼接、粘合, 以得到更复杂的空间, 例如流形和 CW 复形.

1定义

实数有若干种等价的定义. 下面列举其中几种常见的定义方式.

通过 Dedekind 分割

定义 1.1. Dedekind 分割是指有理数集 $\mathbb{Q}$ 的一对非空子集 $(L,R)$, 满足以下条件:

•	若 $a\in L$, 且 $b\in R$, 则 $a<b$.

•	若 $a<b$ 是有理数, 则 $a\in L$ 或 $b\in R$.

•	若 $a\in L$, 则存在 $b\in L$ 满足 $b>a$.

•	若 $a\in R$, 则存在 $b\in R$ 满足 $b<a$.

实数就是一个 Dedekind 分割. 所有实数的集合记为 $\mathbb{R}$.

例如,

•	对有理数 $a\in \mathbb{Q}$, 它对应的实数是 Dedekind 分割$$(\{x\in \mathbb{Q}\mid x<a\},\{x\in \mathbb{Q}\mid x>a\}).$$

•	实数 $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$ 不是有理数, 它的 Dedekind 分割是$$(\{x\in \mathbb{Q}\mid x<0\text{ 或 }{x}^2<2\},\{x\in \mathbb{Q}\mid x>0\text{ 且 }{x}^2>2\}).$$

通过 Cauchy 列

实数也可以定义为有理数集 $\mathbb{Q}$ 的所有 Cauchy 列的等价类的集合, 也就是将实数集 $\mathbb{R}$ 定义为 $\mathbb{Q}$ 的完备化.

定义 1.2. 有理数集 $\mathbb{Q}$ 中的 Cauchy 列是指 $\mathbb{Q}$ 中的序列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$, 满足对任意自然数 $M>0$, 存在自然数 $N>0$, 使得对任意 $m,n>N$, 有$$|a_m-a_n|<\frac{1}{M}.$$称 Cauchy 列 $(a_n{)}_{n\ge 1}$ 与 $(b_n{)}_{n\ge 1}$ 等价, 如果对任意自然数 $M>0$, 存在自然数 $N>0$, 使得对任意 $n>N$, 有$$|a_n-b_n|<\frac{1}{M}.$$这定义了所有 Cauchy 列的集合上的等价关系.

实数定义为 Cauchy 列的等价类的集合. 换言之, 实数集 $\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{Q}$ 中 Cauchy 列的集合对上述等价关系的商集.

作为 Archimedes 完备序域

定理 1.3. 在同构意义下, 存在唯一序域 $\mathbb{R}$, 满足以下性质:

•	(完备性) 若子集 $A,B\subset \mathbb{R}$ 满足对任意 $a\in A$ 和 $b\in B$ 都有 $a\le b$, 则存在 $c\in \mathbb{R}$, 使得对任意 $a\in A$ 和 $b\in B$ 都有 $a\le c\le b$.

•	(Archimedes 公理) 对任意 $x\in \mathbb{R}$, 存在正整数 $n$, 使得 $n>x$. 其中 $n$ 代表$$\underset{n\text{ 个 }1}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}.$$

这个序域定义为实数域.

注 1.4. 若不要求 Archimedes 公理, 完备序域未必唯一. 也就是说, 存在非 Archimedes 完备序域.

例如, 形式 Laurent 级数域 $\mathbb{R}((ϵ))$ 也是完备序域. 其中 $ϵ$ 小于任意正实数, 即形式 Laurent 级数为正当且仅当其最低次项系数为正. 但其不满足 Archimedes 性质, 因为 ${ϵ}^{-1}$ 大于所有正整数.

2相关概念

术语翻译

实数 • 英文 real number • 德文 reelle Zahl (f) • 法文 nombre réel (m) • 拉丁文 numerus realis (m) • 古希腊文 πραγματικὸς ἀριθμός (m)