CW 复形

CW 复形是一类拓扑空间, 指通过不断将 圆盘 沿着其边界 粘到空间上, 而最终粘出的空间.

CW 复形是代数拓扑中的一类重要的空间. 这类空间具有很强的一般性: 例如, 每个拓扑空间都弱同伦等价与一个 CW 复形, 这个结论称为 CW 逼近. 另一方面, 这类空间也具有良好的性质. 从模型范畴的观点看, CW 复形是拓扑空间的 Quillen 模型结构中的双纤维性对象, 这意味着它们是同伦型的一类最佳的代表元.

1定义

, 记 圆盘, 记 球面, 它是 的边界. 注意到 空空间, 是两个点构成的离散空间.

定义 1.1 (粘贴一个胞腔).拓扑空间, 自然数. 向 粘贴一个 -胞腔的操作是指将 圆盘 沿着其边界 上的操作.

具体地说, 设连续映射, 称为粘贴映射. 考虑粘贴得到的空间 , 它是拓扑空间范畴中的推出其中 是作为边界的含入映射. 则空间 就叫做向 沿着映射 粘贴一个 -胞腔得到的空间.

例 1.2. 球面 可以视为向单点空间 粘贴一个 -胞腔 (定义 1.1) 得到的空间. 换言之, 我们有同胚其中 是唯一可能的映射, 即常值映射.

一般地, 我们需要考虑粘贴一族 (可能无穷多个) 胞腔的操作.

定义 1.3 (粘贴一族胞腔). 是拓扑空间, 是自然数. 设是一族连续映射, 称为粘贴映射, 其中 指标集. 它们也可以看作一个映射其中 表示不交并. 考虑粘贴得到的空间 , 它是拓扑空间范畴中的推出其中 是作为边界的含入映射. 则空间 就叫做向 沿着映射 粘贴一族 -胞腔得到的空间.

例 1.4. 向空间粘贴一族 -胞腔 (定义 1.3) 等价于向空间添加一族离散的点.

定义 1.5 (CW 复形). 一个 CW 复形是指一个拓扑空间 , 使得它能写成一个序列余极限 (也就是并集), 其中对每个 , 空间 都是由 粘贴一族 -胞腔 (定义 1.3) 所得到的空间. 此时, 空间 称为 -骨架.

注 1.6. 在定义 1.5 中, 空间 作为余极限, 带有余极限拓扑, 也就是使得所有含入映射 都连续的最强 (或最细) 的拓扑.

在历史上, 拓扑的 “强弱” 的概念曾经与现在相反. 因此, 在历史文献中, 这种拓扑通常被称为弱拓扑, 这个名字也被一些人沿用至今.

2性质

(...)

3例子

无向图是 CW 复形, 并且只有 -胞腔和 -胞腔.

光滑流形因具有三角剖分, 而具有 CW 复形结构.

单纯集合几何实现是 CW 复形.

4相关概念

胞腔复形

胞腔映射

胞腔同调

CW 逼近

术语翻译

CW 复形英文 CW complex德文 Zellkomplex; CW-Komplex (m)法文 CW-complexe (m)

-胞腔英文 -cell德文 -Zelle (f)法文 -cellule (f)

-骨架英文 -skeleton德文 -Gerüst (n)法文 -squelette (m)