CW 复形

CW 复形是一类拓扑空间, 指通过不断将 $n$ 维圆盘 $D^n$ 沿着其边界 $S^{n-1}$ 粘到空间上, 而最终粘出的空间.

CW 复形是代数拓扑中的一类重要的空间. 这类空间具有很强的一般性: 例如, 每个拓扑空间都弱同伦等价与一个 CW 复形, 这个结论称为 CW 逼近. 另一方面, 这类空间也具有良好的性质. 从同伦代数的观点看, CW 复形是拓扑空间的 Quillen 模型结构中的双纤维性对象, 这意味着它们是同伦型的一类最佳的代表元.

1定义

对 $n=0,1,2,\dots$, 记 $D^n$ 为 $n$ 维圆盘, 记 $S^{n-1}$ 为 $(n-1)$ 维球面, 它是 $D^n$ 的边界. 注意到 $S^{-1}=\varnothing$ 是空空间, $S^0=\ast \bigsqcup \ast$ 是两个点构成的离散空间.

定义 1.1 (粘贴一个胞腔). 设 $X$ 是拓扑空间, $n$ 是自然数. 向 $X$ 粘贴一个 $\mathbf{n}$ 维胞腔的操作是指将 $n$ 维圆盘 $D^n$ 沿着其边界 $S^{n-1}$ 粘贴到 $X$ 上的操作.

具体地说, 设$$\phi :S^{n-1}\to X$$是连续映射, 称为粘贴映射. 考虑粘贴空间 $X{\bigsqcup }_{\phi }{D}^n$, 它是拓扑空间范畴中的推出$$S^{n-1}X{D}^{n}X{\bigsqcup }_{\phi }{D}^n,i\phi ┘$$其中 $i:S^{n-1}\hookrightarrow D^n$ 是作为边界的含入映射. 则空间 $X{\bigsqcup }_{\phi }{D}^n$ 就叫做向 $X$ 沿着映射 $\phi$ 粘贴一个 $\mathbf{n}$ 维胞腔得到的空间.

例 1.2. 球面 $S^n$ 可以视为向单点空间 $\ast$ 粘贴一个 $n$ 维胞腔 (定义 1.1) 得到的空间. 换言之, 我们有同胚$$S^n\simeq \ast {\bigsqcup }_{\phi }{D}^n,$$其中 $\phi :S^{n-1}\to \ast$ 是唯一可能的映射, 即常值映射.

一般地, 我们需要考虑粘贴一族 (可能无穷多个) 胞腔的操作.

定义 1.3 (粘贴一族胞腔). 设 $X$ 是拓扑空间, $n$ 是自然数. 设$$({\phi }_i:S^{n-1}\to X{)}_{i\in I}$$是一族连续映射, 称为粘贴映射. 它们也可以看作一个映射$$({\phi }_i{)}_{i\in I}:\coprod _{i\in I}{S}^{n-1}\to X,$$其中 $\coprod$ 表示无交并空间. 考虑粘贴空间 $X{\bigsqcup }_{({\phi }_i{)}_{i\in I}}{\coprod }_{i\in I}{D}^n$, 它是拓扑空间范畴中的推出$${\coprod }_{i\in I}{S}^{n-1}X{\coprod }_{i\in I}{D}^{n}X{\bigsqcup }_{({\phi }_i{)}_{i\in I}}{\coprod }_{i\in I}{D}^n,j({\phi }_i{)}_{i\in I}┘$$其中 $j:{\coprod }_{i\in I}{S}^{n-1}\hookrightarrow {\coprod }_{i\in I}{D}^n$ 是作为边界的含入映射. 则空间 $X{\bigsqcup }_{\phi }{\coprod }_{i\in I}{D}^n$ 就叫做向 $X$ 沿着映射 ${\phi }_i$ 粘贴一族 $\mathbf{n}$ 维胞腔得到的空间.

例如, 向空间粘贴一族 $0$ 维胞腔 (定义 1.3) 等价于向空间添加一族离散的点.

定义 1.4 (CW 复形). CW 复形是指拓扑空间 $X$, 它能写成一列子空间$$\varnothing =X_{-1}\subset X_0\subset X_1\subset X_2\subset \cdots$$的余极限 (即并集), 其中对每个 $n\ge 0$, 空间 $X_n$ 都是由 $X_{n-1}$ 粘贴一族 $n$ 维胞腔 (定义 1.3) 所得到的空间. 此时, 空间 $X_n$ 称为 $X$ 的 $\mathbf{n}$ 维骨架.

如果对某个自然数 $n$, 有 $X_n=X$, 则称 $X$ 为 $\mathbf{n}$ 维 CW 复形.

注 1.5. 在定义 1.4 中, 空间 $X$ 作为余极限, 带有余极限拓扑, 也就是使得所有含入映射 $X_n\hookrightarrow X$ 都连续的最强 (或最细) 的拓扑.

在历史上, 拓扑的 “强弱” 的概念曾经与现在相反. 因此, 在历史文献中, 这种拓扑通常被称为弱拓扑, 这个名字也被一些人沿用至今.

2例子

•	图能视为 $1$ 维 CW 复形.

•	光滑流形因具有三角剖分, 而具有 CW 复形结构.

•	单纯集的几何实现是 CW 复形.

3相关概念

•	胞腔复形
•	胞腔映射
•	胞腔同调

术语翻译

CW 复形 • 英文 CW complex • 德文 CW-Komplex (m) • 法文 CW-complexe (m)

$n$ 维胞腔 • 英文 $n$-cell • 德文 $n$-Zelle (f) • 法文 $n$-cellule (f)

$n$ 维骨架 • 英文 $n$-skeleton • 德文 $n$-Gerüst (n) • 法文 $n$-squelette (m)