有理同伦论

有理同伦论是代数拓扑的一个分支, 通过拓扑空间的有理系数同伦群、同调群来研究该空间, 也就是对空间 $X$, 考虑其有理系数同伦群 ${\pi }_n(X){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$ 和同调群 $H_n(X;\mathbb{Q})$ 及 $H^n(X;\mathbb{Q})$.

每个单连通空间 $X$ 都可以通过有理化, 变成有理空间 $X^{\mathbb{Q}}$, 其同伦群、同调群都是 $\mathbb{Q}$-向量空间, 满足$$\begin{array}{rl}{\pi }_n(X^{\mathbb{Q}})& \simeq {\pi }_n(X){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q},\\ H_n(X^{\mathbb{Q}};\mathbb{Z})& \simeq H_n(X;\mathbb{Q}),\\ H^n(X^{\mathbb{Q}};\mathbb{Z})& \simeq H^n(X;\mathbb{Q}),\end{array}$$其中 $n\ge 1$. 有理同伦论实际上是这些有理空间的同伦论.

具体地说, 所有有理同伦型构成 $(\infty ,1)$-范畴 ${\mathsf{S}}^{\mathbb{Q}}$, 即空间 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{S}$ 中由有理空间构成的全子范畴, 此即有理同伦论的主要研究对象. 有理同伦论建立了该 $(\infty ,1)$-范畴与一些其它范畴的等价, 称为有理同伦论的模型. 例如:

•	普通上同调给出了 ${\mathsf{S}}^{\mathbb{Q}}$ 到 $\mathbb{Q}$ 上 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-代数 (或微分分次交换代数) 构成的 $(\infty ,1)$-范畴的函子, 这也称为取空间的 Sullivan 模型. 若仅考虑满足某些有限型条件的空间和代数, 则该函子给出对应的全子范畴间的等价.

•	上述构造与 Koszul 对偶的复合给出了 ${\mathsf{S}}^{\mathbb{Q}}$ 与 $\mathbb{Q}$ 上某些 ${\mathbb{L}}_{\infty }$-代数 (或微分分次 Lie 代数) 构成的 $(\infty ,1)$-范畴的等价.

1模型

交换代数

Lie 代数

形式模空间

(参见 [Lurie 2011])

2参考文献

关于有理同伦论与形式模空间的联系:

•	Jacob Lurie (2011). “Derived algebraic geometry XIII: Rational and $p$-adic homotopy theory”. (pdf)

3相关概念

术语翻译

有理同伦论 • 英文 rational homotopy theory • 德文 rationale Homotopietheorie (f) • 法文 théorie d’homotopie rationnelle (f) • 韩文 유리수 호모토피 이론 (有理數 homotopy 理論)