弱同伦等价

本文介绍的是代数拓扑中的概念. 关于一般的概念, 请参见 “弱等价”.

在代数拓扑中, 弱同伦等价是同伦等价的概念的一种弱化, 是指拓扑空间的连续映射, 诱导所有同伦群的同构, 此时也相应地称两个空间弱同伦等价. 因此, 粗略地说, 弱同伦等价的空间具有相同的同伦群, 并且, 它们之间存在映射来诱导这些同伦群的同构.

由于 CW 逼近定理, 任何拓扑空间都弱同伦等价于某个 CW 复形. 另一方面, Whitehead 定理表明, CW 复形间的弱同伦等价都是同伦等价. 这两个事实说明, 拓扑空间的弱同伦等价类和 CW 复形的同伦等价类是同样的概念, 即同伦型.

弱同伦等价的概念可以推广到一般的同伦代数中, 称为弱等价. 上述与 CW 复形的联系也能推广到同伦代数中, 这是范畴论中局部化的特例.

1定义

定义 1.1. 设 $X,Y$ 为拓扑空间, $f:X\to Y$ 是连续映射. 称 $f$ 为弱同伦等价, 如果它满足以下性质:

•	$f$ 诱导第 $0$ 阶同伦群的双射: $$f_{\ast }:{\pi }_0(X)\simeq {\pi }_0(Y).$$

•	对任意自然数 $n>0$ 及任意 $x\in X$, $f$ 诱导第 $n$ 阶同伦群的同构: $$f_{\ast }:{\pi }_n(X,x)\simeq {\pi }_n(Y,f(x)).$$

此时, 也称空间 $X,Y$ 弱同伦等价. 一般地, 拓扑空间的弱同伦等价是指上述关系生成的等价关系.

2相关概念

术语翻译

弱同伦等价 • 英文 weak homotopy equivalence • 德文 schwache Homotopieäquivalenz (f) • 法文 équivalence faible d’homotopie (f)