同伦

同伦是映射之间的连续变化. 例如, 对拓扑空间的连续映射 $f,g:X\to Y$ 而言, 从 $f$ 到 $g$ 的同伦就是一族连续映射$$(f_t:X\to Y{)}_{t\in [0,1]},$$其中 $t$ 可以视作时间, 这族映射随 $t$ 连续变化, 并且 $f_0=f$, $f_1=g$.

同伦的概念也可以推广到某些范畴中, 同伦理论的一大部分可以完全在范畴论的框架下表述, 而不依赖具体的空间. 这一框架就是同伦代数, 以及以之为基础发展出的高阶范畴论.

1定义

对拓扑空间

定义 1.1 (同伦). 设 $X,Y$ 为拓扑空间, $f,g:X\to Y$ 为连续映射. $f,g$ 之间的同伦是指一个连续映射$$H:X\times [0,1]\to Y,$$使得 $H{|}_{X\times \{0\}}=f$, 并且 $H{|}_{X\times \{1\}}=g$.

如果这样的 $H$ 存在, 我们也说 $f$ 同伦于 $g$, 并记 $f\simeq g$.

定义 1.2 (相对同伦). 设 $X,Y$ 为拓扑空间, 设 $A\subset X$ 为子空间, 设 $f,g:X\to Y$ 为连续映射. $f,g$ 之间相对于 $A$ 的同伦是指 $f,g$ 间的同伦 (定义 1.1) $$H:X\times [0,1]\to Y,$$使得对任意 $t\in [0,1]$, 有 $H{|}_{A\times \{t\}}=f{|}_A$. 换言之, $H$ 将 $A$ 固定不动.

如果这样的 $H$ 存在, 我们也说 $f$ 与 $g$ 相对于 $A$ 同伦, 并记 $f\simeq g\mathrm{rel}A$.

对高阶范畴

(...)

对模型范畴

(...)

2相关概念

•	同伦代数
•	同痕

术语翻译

同伦 (名词) • 英文 homotopy • 德文 Homotopie (f) • 法文 homotopie (f) • 拉丁文 homotopia (f) • 古希腊文 ὁμοτοπία (f)

同伦 (形容词) • 英文 homotopic • 德文 homotop • 法文 homotope • 拉丁文 homotopus • 古希腊文 ὁμότοπος

相对于 $A$ • 英文 relative to $A$ • 德文 relativ zu $A$ • 法文 relativement à $A$ • 拉丁文 relative ad $A$ • 古希腊文 εἰς σχέσις μετὰ $A$