基本群

拓扑空间 $X$ 的基本群 ${\pi }_1(X)$ 是由其中所有环路的同伦类构成的群, 群的乘法定义为环路的首尾相接.

如果一个空间中, 所有环路都能连续地缩成一个点, 即同伦于常值映射, 那么这个空间的基本群是平凡群. 满足这个性质的道路连通空间叫做单连通空间.

拓扑空间的基本群是它的第 $1$ 个同伦群, 即同伦群 ${\pi }_n(X)$ 在 $n=1$ 时的特例, 也是它的基本群胚 ${\Pi }_1(X)$ 中基点的自同构群, 或它的基本 $\infty$-群胚 $\Pi (X)$ 中基点的自同构 $\infty$-群的 $1$-截断.

1定义

定义 1.1 (带点拓扑空间). 一个带点拓扑空间是指一个二元组 $(X,x)$, 其中 $X$ 是拓扑空间, $x\in X$ 是一个点, 称为带点拓扑空间 $(X,x)$ 的基点.

定义 1.2 (环路). 设 $(X,x)$ 是带点拓扑空间 (定义 1.1). $X$ 中的一条基于 $x$ 的环路是指一条从 $x$ 到 $x$ 的道路.

换言之, 一条基于 $x$ 的环路是一个连续映射$$\gamma :[0,1]\to X,$$满足 $\gamma (0)=\gamma (1)=x$.

定义 1.3 (道路的拼接). 设 $(X,x)$ 是带点拓扑空间 (定义 1.1), 设 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 是 $X$ 中的两条道路, 满足 ${\gamma }_1(1)={\gamma }_2(0)$. 则它们的拼接是把 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 首尾相接得到的环路: $${\gamma }_1\cdot {\gamma }_2(t)=\{\begin{array}{ll}{\gamma }_1(2t),& 0\le t\le 1/2,\\ {\gamma }_2(2t-1),& 1/2\le t\le 1.\end{array}$$

定义 1.4 (基本群). 设 $(X,x)$ 是带点拓扑空间 (定义 1.1). 它的基本群定义为$${\pi }_1(X,x)=\{[\gamma ]\mid \gamma \text{ 是基于 }x\text{ 的环路}\},$$其中 $[\gamma ]$ 指环路 $\gamma$ 的同伦类, 这里同伦需要固定环路的端点. 这个群的乘法定义为$$[{\gamma }_1]\cdot [{\gamma }_2]=[{\gamma }_1\cdot {\gamma }_2],$$其中 ${\gamma }_1\cdot {\gamma }_2$ 是 ${\gamma }_1$ 和 ${\gamma }_2$ 的拼接 (定义 1.3).

如果 $X$ 是道路连通空间, 那么选取不同基点得到的基本群都同构 (命题 2.1). 此时, 我们也可以记 ${\pi }_1(X)={\pi }_1(X,x)$.

2性质

关于道路的函子性

命题 2.1. 设 $X$ 是拓扑空间, $x,y\in X$ 被一条道路 $\gamma$ 所连接. 则有诱导的同构$$\begin{array}{rl}{\gamma }_{\ast }:{\pi }_1(X,x)& \simeq {\pi }_1(X,y),\\ [\alpha ]& \mapsto [{\gamma }^{-1}\cdot \alpha \cdot \gamma ],\end{array}$$其中 ${\gamma }^{-1}$ 表示 $\gamma$ 的反向道路.

关于空间的函子性

命题 2.2. ${\pi }_1:{\mathsf{Top}}_{\ast }\to \mathsf{Grp}$ 是从带点拓扑空间范畴到群范畴的函子.

同伦不变性

命题 2.3. 基本群是拓扑空间的同伦不变量. 从而, ${\pi }_1$ 可以视为从同伦带点拓扑空间范畴到群范畴的函子$${\pi }_1:{\mathsf{hTop}}_{\ast }\to \mathsf{Grp}.$$

与同调的联系

参见: Hurewicz 定理

定理 2.4. 设 $X$ 是道路连通空间. 则其基本群的 Abel 化同构于它的第一个单纯同调群: $${\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}\simeq H_1(X;\mathbb{Z}).$$

van Kampen 定理

参见: van Kampen 定理

Eckmann–Hilton 论断

参见: Eckmann–Hilton 论断

命题 2.5 (Eckmann–Hilton 论断, 基本群版本). 拓扑群的基本群是 Abel 群.

3相关概念

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平展基本群

术语翻译

基本群 • 英文 fundamental group • 德文 Fundamentalgruppe • 法文 groupe fondamental • 拉丁文 caterva fundamentalis • 古希腊文 θεμελιώδης ὁμάς