平凡群 (也叫零群) 指只有一个元素的群. 因为群必须有单位元, 所以任何群都至少有一个元素, 故平凡群就是最小的群.
平凡群通常被记作 0 或 1.
定义 1.1. 平凡群指的是一个只有一个元素的群, 其唯一元素是单位元 e.
命题 2.1. 平凡群是群范畴的零对象. 特别地,
•
每个群以平凡群作为子群.
每个群以平凡群作为商群.
平凡群在同构意义下唯一, 且有唯一自同构.
命题 2.2. 平凡群是 Abel 群.
术语翻译
平凡群 • 英文 trivial group • 德文 triviale Gruppe • 法文 groupe trivial