子群

子群描述两个群之间的包含关系 (1.1).

1定义

定义 1.1. 群 $G$ 的子群 $H$ 是它的一个在其乘法与逆之下均稳定的子集. 具体地说, 是 $H\subset G$ 使得$$\begin{array}{rl}{h}_1\cdot h_2\in H,& \forall h_1,h_2\in H,\\ h^{-1}\in H& \forall h\in H.\end{array}$$( $\cdot$ 与 $(-{)}^{-1}$ 表示 $G$ 中的乘法和取逆运算.)

$H$ 的群结构由 $G$ 的群结构诱导, 即 $H$ 的乘法与逆为 $G$ 的乘法与逆在 $H$ 上的限制, $H$ 的单位元为 $G$ 的单位元.

此时记作 $H<G$

注 1.2. 等价地, $G$ 的子群是 $G$ 在群范畴中的子对象.

2性质

•	正规子群
•	特征子群
•	Lagrange 定理

3例子

•	平凡群是任何群的子群. 其相应子集由 $\{e\}$ 给出, 其中 $e$ 为单位元.
•	对任意群 $G$, 它是自身的子群.
•	对正整数 $n$, 被 $n$ 整除的整数 $n\mathbb{Z}$ 是整数的子群.
•	整数是有理数的子群.

4相关概念

•	群
•	陪集
•	商群

术语翻译

子群 • 英文 subgroup • 德文 Untergruppe (f) • 法文 sous-groupe (m)