群的子群是包含在其中的群, 即由其中一部分元素构成的群.
定义 1.1. 群 G 的子群是指子集 H⊂G, 满足以下条件:
• | 对任意 h1,h2∈H, 都有 h1h2∈H. |
• | G 的单位元 1∈H. |
• | 对任意 h∈H, 都有 h−1∈H. |
此时, 集合 H 带上 G 中的乘法、单位元也构成一个群.
等价地说, G 的子群也可以定义为群 H, 带有单的群同态 H↪G.
• | 任何群都是自身的子群. |
• | 平凡群是任何群的子群, 即由该群 G 的单位元自身构成的群 {1}. |
• | 对整数 n, 被 n 整除的整数构成的子集 nZ⊂Z 是 Z 的子群, 这里群运算是加法. |
术语翻译
子群 • 英文 subgroup • 德文 Untergruppe (f) • 法文 sous-groupe (m)