代数群

代数群指的是域上有限型群概形. 直观地说, 代数群即一个群, 同时具有代数簇的结构, 使得群运算都是代数簇的态射.

线性代数群是一类常见的代数群, 例如一般线性群 $\mathrm{GL}(n;k)$ 等.

1定义

定义 1.1. 域 $k$ 上代数群指 $k$ 上有限型群概形, 即四元组 $(G,m,e,i)$, $G$ 为 $k$ 上有限型概形, $m:G{\times }_{k}G\to G$, $e:\mathrm{Spec}k\to G$, $i:G\to G$ 为 $k$-态射, 分别满足群乘法、单位元、逆元需满足的公理. 如乘法满足交换律, 则称其为交换代数群.

注 1.2. 有时也用代数群一词专指仿射代数群. 由 Chevalley 结构定理, 完美域上光滑代数群都有仿射正规子群, 商掉之后为 Abel 簇. 这样, 代数群的研究便多多少少可化归为仿射代数群与 Abel 簇的研究.

注 1.3. 代数群的子群、同态、单、满等概念和一般的群概形没什么区别, 见该条目.

2例子

•	$\mathrm{Spec}k$ 本身是代数群, 称为平凡群, 记作 $1$ 或 $0$.
•	更一般地, 有限群都是代数群.
•	仿射直线 ${\mathbb{A}}^1$ 关于加法构成代数群, 记作 ${\mathbb{G}}_a$.
•	${\mathbb{A}}^1\setminus 0$ 关于乘法构成代数群, 记作 ${\mathbb{G}}_m$.
•	各种线性代数群都是代数群, 如一般线性群、正交群等.
•	椭圆曲线是代数群.
•	设 $k$ 为特征 $p$, 考虑函子 ${\alpha }_p(S)=\{x\in \Gamma (S,{\mathcal{O}}_S)\mid x^p=0\}$, 即 ${\mathbb{G}}_a$ 的 Frobenius 态射的核. 这是不既约的代数群.
•	设 $k$ 为特征 $p$, 考虑函子 ${\mu }_p(S)=\{x\in \Gamma (S,{\mathcal{O}}_S^{\times })\mid x^p=1\}$, 即 ${\mathbb{G}}_m$ 的 Frobenius 态射的核. 这是不既约的代数群.
•	设 $k$ 为特征 $p$, $a\in k\setminus k^p$, 则 $x^p+a{y}^p\in k[x,y]$ 是不可约多项式. 考虑代数群 $\mathrm{Spec}k[x,y]/(x^p+a{y}^p)=\ker (x^p+a{y}^p:{\mathbb{G}}_a^2\to {\mathbb{G}}_a)$. 它是整概形, 特别地既约, 但不在 $k$ 上光滑.

3性质

代数群的齐性带来很多好性质.

命题 3.1. 代数群都分离. 一般地, 域上群概形都分离.

命题 3.2. 代数群只要连通就几何不可约. 事实上这也对域上群概形都成立. 所以对 $k$ 上群概形 $G$, 其单位元处连通分支 $G^0$ 是 $k$ 上几何不可约群概形.

命题 3.3. 代数群只要几何既约就光滑. 特别地, 完美域上代数群只要既约就光滑.

命题 3.4. 代数群的子群都是闭子概形.

命题 3.5. $G$ 是 $k$ 上代数群. 则 ${\Omega }_{G/k}$ 是 $G$ 上平凡向量丛.

推论 3.6 (Cartier). 特征 $0$ 域上代数群光滑.

证明. 这是因为特征 $0$ 域上有限型概形光滑当且仅当其 Kähler 微分是向量丛, 参见相关条目.

$\square$

定理 3.7 (商). 设 $G$ 是 $k$ 上代数群, $H$ 是其子群. 则 fpqc 层 $G/H$ 为可表. 换言之, 可以定义商概形 $G/H$, 在 $H$ 正规时为代数群, 称为商群.

证明. 依定义 $G/H$ 为 $k$ 上有限表现代数空间. 域上有限表现代数空间必有开稠子空间是概形, 而 $G$ 可迁作用于 $G/H$, 故整个 $G/H$ 都是概形. 在 $H$ 正规时, $G/H$ 本身就是群层, 所以是群概形.

$\square$

注 3.8. 也有使用群表示的证明, 但这个证明是康庄大道. 域上有限表现的齐性代数空间是概形.

(要讲中心、导群等构造.)

4相关概念

•	仿射代数群
•	Abel 簇
•	约化群
•	Chevalley 结构定理
•	形式群

术语翻译

代数群 • 英文 algebraic group • 德文 algebraische Gruppe • 法文 groupe algébrique