有限群

有限群顾名思义, 就是元素个数有限的群.

有限群可以被分解: 一方面, 有限群可以写成单群的合成列; 另一方面, Sylow 定理保证可以在有限群中找到阶为素数的幂的子群. 从而部分地把对有限群的研究转化为对单群和 $p$ 群的研究.

由于有限性, 有限群在群表示论等理论中较好的性质, 例如其在特征 $0$ 域上的表示是半单的.

上述好的性质可以部分推广到其它的群, 例如紧群等.

1定义

定义 1.1. 有限群是元素个数有限的群.

2性质

有限群可以被 “分解” 为若干单群.

命题 2.1 (合成列). 对有限群 $G$, 存在其子群的升链$$1=G_0\subset G_1\subset G_2\cdots \subset G_n=G,$$满足对任意 $i$, $G_{i-1}$ 在 $G_i$ 中正规, 且 $G_i/G_{i-1}$ 是单群.

参见: Sylow 定理

下面列出的定理是 Sylow 定理的一部分.

命题 2.2 (Sylow 定理). 对有限群 $G$, $q$ 整除 $|G|$, $q$ 为素数的幂, 则 $G$ 存在阶为 $q$ 的子群.

3相关概念

•	投射有限群
•	紧群

术语翻译

有限群 • 英文 finite group • 德文 endliche Gruppe • 法文 groupe fini • 拉丁文 caterva finita • 古希腊文 πεπερασμένη ὁμάς