是一种代数结构. 粗略地说, 群是带有乘法运算集合, 并且这种乘法满足若干性质.

群结构描述对象的对称性. 例如:

几何对象的对称群就是所有保持该几何对象不变的变换所构成的群. 例如, 在狭义相对论中, 时空的对称群称为 Poincaré 群, 其上还有 Lie 群结构.

代数学中, Galois 群描述了域扩张的对称性. Galois 理论致力于将群与域扩张建立对应, 以使用群论研究.

1定义

定义 1.1 (群). 是四元组 , 其中

集合. 是一个元素, 称为单位元.

上的二元运算, 一般记为 , 称为乘法.

上的一元运算, 一般记为 , 称为.

它们满足以下条件:

(结合律) 对任意 , 有从而这个结果可以无歧义地记成 .

(单位律) 对任意 , 有其中 的单位元.

(逆元) 对任意 , 有其中 的单位元.

在不引起歧义的情况下, 一般将此四元组简记为 .

群同态

群同态是群之间保持群结构的映射.

定义 1.2 (群同态). 两个群 之间的同态是映射 , 满足

定义 1.3 (群范畴). 所有群和它们之间的同态构成一个范畴, 称为群范畴, 记为 .

定义 1.4 (群同构). 两个群 称为同构的, 如果它们在群范畴中同构.

等价地说, 如果存在同态使得 均为恒同映射, 就说 同构, 也称映射 同构.

2相关概念

群对象

群胚

术语翻译

英文 group德文 Gruppe (f)世界语 grupo法文 groupe (m)拉丁文 caterva (f)古希腊文 ὁμάς (f)