幺半群

幺半群是一种代数结构, 是指带有乘法运算集合, 其中乘法满足结合律, 并且有单位元.

幺半群与范畴论有着密切联系. 一方面, 幺半群的胚化 (即 “幺半群胚”) 就是范畴. 因此, 在任何范畴中, 对象到自身的所有态射构成幺半群. 另一方面, 幺半群的范畴化, 即幺半范畴, 是范畴代数的基础.

幺半群也可以用算畴的语言来描述, 它是集合范畴 上的结合算畴代数. 使用这种观点, 可以定义幺半范畴中幺半群的推广, 即幺半对象. 进一步, 如果考虑 -算畴, 还可以定义幺半群在高阶代数理论中的推广, 即 -代数-代数.

1定义

经典定义

定义 1.1 (幺半群). 幺半群是三元组 , 其中

集合.

是一个元素, 称为单位元幺元.

是一个二元运算, 通常记为 , 称为乘法.

它们满足以下条件:

(结合律) 对任何 , 有从而这个结果可以无歧义地记成 .

(单位律) 对任何 , 有

在不引起歧义的情况下, 这个三元组也被简记为 .

等价定义

幺半群是含有单位元半群.

幺半群是集合范畴 中的幺半对象, 也是其上的结合算畴代数.

幺半群是只有一个对象范畴. 也就是说, 幺半群的胚化 (即 “幺半群胚”) 就是范畴.

2例子

自然数关于加法构成幺半群 ; 正整数关于乘法构成幺半群 .

就是每个元素都可逆的幺半群.

关于它的乘法构成幺半群.

集合代数关于取交集构成幺半群, 关于取并集也构成幺半群.

范畴中, 对象到自身的态射关于态射的复合构成幺半群.

一个字母表构成的所有单词关于单词的拼接构成幺半群.

3性质

(...)

4相关概念

幺半对象

幺半范畴

幺半余群

空间

-代数

-代数

术语翻译

幺半群英文 monoid德文 Monoid (n)法文 monoïde (m)拉丁文 monoides (n)古希腊文 μονοειδές (n)