除环

除环是非零元素均可逆的环, 也称为斜域或体. 它在许多情况下表现的比较像域, 例如其上的模必为此环的若干次直和.

1定义

定义 1.1 (除环). 称环 $D$ 为除环, 如果它不是零环, 且其中所有非零元素均可逆, 即: 对任意 $x\in D$, $x\ne 0$, 存在 $y\in D$ 使得 $xy=yx=1$.

2性质

模论

除环上的模论和域上线性空间的理论相似, 例如:

命题 2.1. 除环上的模都是自由模, 具体地说, 对除环 $D$ 上的左模 $M$, 存在 $M$ 中的一组元素 $\{e_i{\}}_{i\in I}$, 使得$$M=\underset{i\in I}{⨁}D{e}_i.$$且 $I$ 的势由此模唯一决定.

中心

命题 2.2. 除环的中心是域, 记 $D$ 的中心为 $K$, 如果 $D$ 作为 $K$-向量空间是有限维的, 则有 ${\dim }_{K}D=n^2$ 对某个正整数 $n$ 成立, 且 $D$ 中极大子域 $L$ 满足 ${\dim }_{K}L=n$.

3例子

•	交换的除环就是域.
•	有限除环必然是域, 这是 Wedderburn 小定理.
•	实数 $\mathbb{R}$ 上唯一扩张次数有限的不是域的除环是四元数 $\mathbb{H}$.
•	代数闭域上扩张次数有限的除环必为自身.

4相关概念

•	域
•	中心单代数
•	Brauer 群

术语翻译

除环 • 英文 division ring • 德文 Schiefkörper • 法文 corps gauche • 俄文 тело • 日文 斜体; 可除環