四元数

四元数是形如, 其中 实数, 元素 满足四元数的乘法不满足交换律, 但非零元素都有乘法逆元, 因此, 所有四元数构成一个除环, 它同时也是实数域上的中心单代数.

所有四元数的集合通常记为 .

1定义

定义 1.1 (四元数). 四元数环 -结合代数, 它作为 -向量空间其中, 中的四个元素, 满足 为乘法单位元, 可以验证这唯一地给出了 -代数的结构. 这时 的元素称为四元数.

复数一样, 也可以谈论四元数的范数和共轭.

定义 1.2 (范数). 四元数 () 的范数

定义 1.3 (共轭). 四元数 () 的共轭

(...)

2性质

共轭与范数

正如在复数中, 一个元素乘它自己的共轭是它的范数的平方.

命题 2.1. 对任意 , .

从而对非零元素 都有逆 . 因此

命题 2.2. 是除环.

不过在复数中共轭是自同构, 此时它是个反自同构.

命题 2.3. 对任意 ,

.

.

.

由此, 范数具有乘性.

推论 2.4. 对任意 , .

证明. .

由范数的乘性, 我们知道 是一个从 的乘法群 的群同态, 它的核是所有范数为 的四元数, 可以记为 .

取出 中所有实部为 () 的四元数, 它们组成一个三维实线性子空间 . 由范数为 的四元数 可以诱导 (作为三维实线性空间的) 旋转 (, ). 通过下面陈述的嵌入 , 可以验证 . 注意到 诱导出的是同一个旋转, 这给出了 的二重复叠.

作为除环

如下命题说明在除环的意义下不能再拓展数系. 不过如果放弃结合律, 则仍可以继续扩展, 而得到八元数.

命题 2.5. 实数域 上的有限维中心单代数必为 . 这样 对应了 Brauer 群的唯一非平凡元素. 特别地, 上有限维除环仅有 , , .

此外, 由于 上的中心单代数必然形如 , 我们有如下结论:

命题 2.6. .

此同构也可以通过 Pauli 矩阵显式构造:

证明. 我们这样定义从 的单同态: (1)其中是 Pauli 矩阵, 满足性质 , 而 . 由此可以验证它确实是同构.

(...)

术语翻译

四元数英文 quaternion德文 Quaternion (f)法文 quaternion (m)拉丁文 quaternio (m)古希腊文 τετράδιον (n)