向量空间

向量空间 (也称为线性空间矢量空间) 是一种代数结构, 是线性代数的主要研究对象. 我们最熟悉的向量空间包括坐标平面以及我们所处的三维空间一般地, 也有 上的 维向量空间向量空间的元素称为向量. 向量可以相加而得到新的向量, 也可以将向量乘以一个数而得到新的向量. 这两种操作刻画了向量空间的代数结构.

除了上述例子外, 还可以有无限维的向量空间. 例如, 考虑 上的所有实值连续函数的空间使用线性代数的术语, 我们将这样的连续函数称为向量. 在 中, 连续函数可以相加而得到新的连续函数, 也可以乘一个数而得到新的连续函数. 这两点说明 也是向量空间.

1定义

定义 1.1 (向量空间).. 则 -向量空间就是 -.

具体地说, -向量空间是集合 , 带有两种运算分别称为加法数乘. 这里, 表示数乘的点乘符号常常省略. 我们要求这两种运算满足以下性质:

构成 Abel 群, 其单位元记为 . 具体来说, 是指加法满足以下性质:

加法满足结合律: 对任意 , 有

加法满足交换律: 对任意 , 有

加法具有单位元 , 满足单位律: 对任意 , 有

对任意 , 存在元素 , 使得

数乘满足单位律: 对任意 , 有

数乘对 中的加法满足分配律: 对任意 , 有

数乘对 中的加法满足分配律: 对任意 , 有

数乘与 中的乘法相容: 对任意 , 有

此时, 域 的元素通常称为标量, 向量空间 中的元素通常称为向量. 元素 有时称为 原点.

定义 1.2 (线性映射). 是域, 设 -向量空间. 映射称为线性映射, 如果它是 -同态.

具体地说, 这意味着

对任意 和任意 , 有

对任意 , 有

定义 1.3 (向量空间范畴). 所有向量空间 (定义 1.1) 和它们之间的线性映射 (定义 1.2) 构成范畴, 称为 -向量空间的范畴, 记为 .

2例子

对任何域 , 单点集可以视为 -向量空间, 称为零向量空间, 记为 .

可以看成自身上的向量空间, 其维数.

对任何自然数 (乃至基数) , 集合 上带有自然的 -向量空间结构, 其维数为 .

对任何扩域 , 都能将 看作 -向量空间. 例如, 复数 就是 -向量空间, 其维数为 .

对任何拓扑空间 , 连续函数空间 上的向量空间.

3性质

每个 -向量空间中, 都能找到一组, 也就是一组向量, 例如 , 使得该向量空间的任意向量 都能唯一地写成这些向量的线性组合:其中 是标量. 这样, 选定一组基, 就能用这组数 来代表向量 , 有时记为由此, 通过一组基, 就能把向量空间的几乎所有操作化为数的运算.

基存在定理表明, 每个向量空间都有基. 同一个向量空间的所有基都具有同样多的向量, 这一数目称为该向量空间的维数.

4相关概念

术语翻译

向量空间英文 vector space德文 Vektorraum (m)法文 espace vectoriel (m)拉丁文 spatium vectoriale (n)古希腊文 διανυσματικὸς χῶρος (m)

线性空间英文 linear space德文 linearer Raum (m)法文 espace linéaire (m)拉丁文 spatium lineare (n)古希腊文 γραμμικὸς χῶρος (m)

向量英文 vector德文 Vektor (m)法文 vecteur (m)拉丁文 vector (m)古希腊文 διάνυσμα (n)