线性生成空间

在线性代数中, 向量空间 $V$ 中一组向量 $(x_1,\dots ,x_n)$ 的线性生成空间是指这些向量的所有线性组合所构成的子向量空间, 也就是所有形如$$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n$$的向量构成的空间, 其中 $a_1,\dots ,a_n$ 是标量. 例如, 单个向量的线性生成空间就是它所在的直线, 即一维子空间; 两个线性无关的向量生成的空间是它们张成的平面, 即二维子空间.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $S\subseteq V$ 是子集. 则 $S$ 在 $V$ 中的线性生成空间是指 $V$ 的子向量空间$$\mathrm{span}(S)=\bigcap _{W\subseteq V\text{ 是包含 }S\text{ 的子向量空间}}W,$$也就是 $V$ 中包含 $S$ 的最小子向量空间.

等价地, 也有$$\mathrm{span}(S)=\left\{a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n|\begin{array}{l}n\ge 0;a_1,\dots ,a_n\in k;\\ x_1,\dots ,x_n\in S\end{array}\right\},$$也就是说, $\mathrm{span}(S)$ 是由 $S$ 中所有向量的有限线性组合构成的空间.

2相关概念

•	仿射生成空间
•	凸包

术语翻译

线性生成空间 • 英文 linear span • 德文 lineare Hülle (f) • 法文 sous-espace vectoriel engendré (m) • 日文 線形包 (せんけいほう) • 韩文 선형생성 (線型生成)