特殊正交群

约定. 在本文中,

• 所有环均指交换环.

环 $A$ 上特殊正交群由所有同阶行列式为 $1$ 的正交方阵 (即其转置等于其逆的方阵) 组成, 它是重要的一类 Lie 群. 在 $A=\mathbb{R}$ 时, 它是 Euclid 空间所有绕原点的旋转构成的群.

特殊正交群一般记作 $\mathrm{SO}(n,A)$ 或 ${\mathrm{SO}}_n(A)$.

1定义

定义 1.1 (特殊正交群). 设 $2$ 在环 $A$ 中可逆, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, 特殊正交群 $\mathrm{SO}(n,A)$ 是集合$$\{X\in {\mathrm{M}}_n(A)\mid X^{t}X=1,\det X=1\}$$配备矩阵乘法得到的群, 即正交群中行列式为 $1$ 的元素构成的子群.

注 1.2. 对非交换环无法定义正交群, 其原因在于其上没有双线性型理论. 不过在环和它的反环同构时, 可以有半双线性型理论, 从而定义酉群的类似物. 例如可以基于四元数定义紧辛群.

2性质

基本性质

特殊正交群是正交群的正规子群.

命题 2.1. 设 $2$ 在环 $A$ 中可逆. 则有正合列$$0\mathrm{SO}(n,A)O(n,A){}_2{A}^{\times }0.\det$$其中 $\det$ 表示行列式运算, $O$ 表示正交群, ${}_2{A}^{\times }$ 表示 $A$ 中所有平方为 $1$ 的元素在乘法下构成的群. 特别地, $\mathrm{SO}(n,A)$ 是群同态的核, 因此是 $O$ 的正规子群.

(...)

Lie 群结构

当 $A$ 为 $\mathbb{R}$-代数时, 可以为特殊线性群赋予 Lie 群结构, 其中最重要的例子是 $A=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$.

命题 2.2. $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 可视为 ${\mathbb{R}}^{n^2}$ 或 ${\mathbb{C}}^{n^2}$ 中方程的零点集. 这为 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 赋予了光滑流形结构, 并为 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 赋予了复流形结构. 此时前者是实 Lie 群, 后者是复 Lie 群.

特殊正交群的 Lie 代数与正交群相同.

命题 2.3 (Lie 代数). 特殊正交群 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{k})$ ($\mathbb{k}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$) 的 Lie 代数是向量空间$$\mathfrak{o}(n,\mathbb{k})=\{X\in M(n,\mathbb{k})\mid X+X^t=0\},$$配有 Lie 括号 $[X,Y]=XY-YX$.

特殊正交群还有一些拓扑性质.

命题 2.4 (紧性). $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 是紧群, 但除了 $n=1$ 的平凡的情况, $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 不紧, 它的极大紧子群是 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$.

证明. (...)

$\square$

命题 2.5 (连通性). $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 都是连通的. 事实上, $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 是 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 的强形变收缩.

命题 2.6 (基本群). $\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$; 而 $n\ge 3$ 时, $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 的基本群是 $\mathbb{Z}/2$, 它的万有覆叠是旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$. $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 的基本群与 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 相同.

特殊正交群是单 Lie 群.

命题 2.7 (单性). $\mathrm{SO}(n,\mathbb{R})$ 和 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ ($n=3$ 或 $n\ge 5$) 是单 Lie 群. $n$ 为奇数时, 它对应 $C$ 型 Dynkin 图; $n$ 为偶数时, 它对应 $D$ 型 Dynkin 图.

3推广

可以将正交群推广到一般概形上, 成为群概形.

定义 3.1. 设 $S$ 是概形, $V$ 是其上向量丛, $L$ 是其上线丛, $q:V\to L$ 是集合值函子的自然变换, 满足 $q$ 在 $S$ 的仿射局部上是非退化二次型. 定义 $q$ 的正交群为 $S$ 上群概形$${\mathsf{Sch}}_S^{\text{op}}\to \mathsf{Grp},X\mapsto \{\phi \in {\mathrm{Aut}}_{{\mathcal{O}}_X}(V_X)\mid q\circ \phi =q,\det (\phi )=1\},$$记作 $\mathrm{SO}(q)$ 或 $\mathrm{SO}(q,S)$. 它是约化群概形.

注 3.2. 依正交群的定义, $\mathrm{SO}(q)=O(q)\cap \mathrm{SL}(V)$, 即它是正交群与特殊线性群在一般线性群中的交.

例 3.3. 对偶数 $n$, 考虑, $V={\mathcal{O}}_S^{\oplus n}$, $L={\mathcal{O}}_S$, $q(x_1,\dots ,x_n)=x_1{x}_2+\cdots +x_{n-1}{x}_n$. 此时 $\mathrm{SO}(q)$ 称为标准分裂特殊正交群, 记作 ${\mathrm{SO}}_{n,S}$. 注意这并不是定义 1.1 中的 $\mathrm{SO}(n,A)$. $n\ge 6$ 时, 它是单群概形, 对应 $D$ 型 Dynkin 图.

例 3.4. 对奇数 $n$, 考虑 $V={\mathcal{O}}_S^{\oplus n}$, $L={\mathcal{O}}_S$, $q(x_1,\dots ,x_n)=x_1{x}_2+\cdots +x_{n-2}{x}_{n-1}+x_n^2$. 此时 $\mathrm{SO}(q)$ 称为标准分裂特殊正交群, 记作 ${\mathrm{SO}}_{n,S}$. 注意这并不是定义 1.1 中 $\mathrm{SO}(n,A)$. $n\ge 3$ 时, 它是单群概形, 对应 $C$ 型 Dynkin 图.

4表示论

(...)

5例子

•	$\mathrm{SO}(2,\mathbb{R})$ 同构于圆周 $S^1$.
•	$\mathrm{SO}(3,\mathbb{R})$ 是由 ${\mathbb{R}}^3$ 中旋转 (以及恒等映射) 构成的群, 它的万有覆叠是 $\mathrm{SU}(2)$.

6相关概念

•	半单 Lie 群
•	约化群

术语翻译

特殊正交群 • 英文 special orthogonal group • 德文 spezielle orthogonale Gruppe • 法文 groupe spécial orthogonal • 拉丁文 caterva specialis orthogonalis • 古希腊文 εἰδικὴ ὀρθογωνία ὁμάς