扩旋量群

扩旋量群 $\mathrm{Pin}(n)$ 是一个实 Lie 群, 其之于正交群 $\mathrm{O}(n)$ 正如旋量群 $\mathrm{Spin}(n)$ 之于特殊正交群 $\mathrm{SO}(n)$. 也就是说, 有 Lie 群的正合列$$1\to {\mathbb{Z}}_2\to \mathrm{Pin}(n)\to \mathrm{O}(n)\to 1.$$

1定义

设 $V$ 是 $n$ 维实向量空间, 带有二次型 $Q:V\to \mathbb{R}$. 记 $\mathrm{Cl}(V)$ 为对应的 Clifford 代数, $\mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$ 为其中可逆元构成的乘法群.

定义 1.1 (扩旋量群). 扩旋量群$$\mathrm{Pin}(V)\subset \mathrm{Cl}(V{)}^{\times }$$定义为所有形如 $v_1{v}_2\cdots v_k$ 的元素构成的子群, 其中 $v_1,\dots ,v_k\in V$ 满足 $Q(v_i)=\pm 1$.

当 $Q$ 正定时, 得到的扩旋量群也记为 $\mathrm{Pin}(n)$ 或 ${\mathrm{Pin}}_{+}(n)$; 当它负定时, 扩旋量群也记为 ${\mathrm{Pin}}_{-}(n)$. 若 $Q$ 非退化, 且符号为 $(p,q)$, 得到的扩旋量群记为 $\mathrm{Pin}(p,q)$.

2相关概念

术语翻译

扩旋量群 • 英文 pin group