Clifford 代数

Clifford 代数是旋量几何中的基本构造. 给定向量空间 $V$ 和其上二次型 $Q$, 可以构造 Clifford 代数为$$\mathrm{Cl}(V,Q):=\frac{{\mathrm{T}}^{\bullet }(V)}{⟨v^2=-Q(v)⟩}$$也就是说, Clifford 代数由向量空间 $V$ 的元素生成, 并满足某种反交换关系.

实数与复数上的 Clifford 代数有着良好的结构, 它们同构于矩阵代数或矩阵代数的乘积. Clifford 代数的一组生成元在此同构下对应的矩阵即是物理学中常用的 $\gamma$ 矩阵.

从 Clifford 代数出发, 可以构造旋量群和旋量表示. Clifford 代数的单表示即为旋量表示. 扩旋量群则是 Clifford 代数的乘法子群.

1定义

定义 1.1 (Clifford 代数). 设 $V$ 是域 $k$ 上的向量空间, $Q$ 是 $V$ 上的非退化二次型, Clifford 代数定义为商代数$$\mathrm{Cl}(V,Q):=\frac{{\mathrm{T}}^{\bullet }(V)}{⟨v^2=-Q(v,v),v\in V⟩}$$其中 ${\mathrm{T}}^{\bullet }(V)$ 为张量代数.

当 $k=\mathbb{R}$, $Q$ 的正、负指标分别为 $p,q$ 时, Clifford 代数记为 $\mathrm{Cl}(p,q)$. 当 $k=\mathbb{C}$, $V$ 为 $n$ 维时, Clifford 代数记为 $\mathrm{Cl}(n,\mathbb{C})$.

定义 1.2 (超代数结构). Clifford 代数上有如下超代数结构: $$\mathrm{Cl}(V,Q)=\mathrm{Cl}(V,Q{)}^{+}\oplus \mathrm{Cl}(V,Q{)}^{-}$$

其中:

•	偶元素为形如 $v_1\cdots v_k$ 的元素的线性组合, $v_i\in V$, $k$ 为偶数.
•	奇元素为形如 $v_1\cdots v_k$ 的元素的线性组合, $v_i\in V$, $k$ 为奇数.

2例子

以下列出一些 $V$ 维数较小的情形.

•	$\mathrm{Cl}(0,0)\simeq \mathbb{R}$.

•	$\mathrm{Cl}(1,0)\simeq \mathbb{C}$, $\mathrm{Cl}(0,1)\simeq \mathbb{R}\times \mathbb{R}$.

•	$\mathrm{Cl}(2,0)\simeq \mathbb{H}$, $\mathrm{Cl}(1,1)\simeq \mathrm{Cl}(0,2)\simeq {\mathrm{M}}_2(\mathbb{R})$.

3性质

复数情形

复数域上的 Clifford 代数结构较为简单.

命题 3.1 (Clifford 代数的结构). $$\mathrm{Cl}(n,\mathbb{C})\simeq \{\begin{array}{cc}{M}_d(\mathbb{C})\times M_d(\mathbb{C})& n\text{ 为奇数}\\ M_d(\mathbb{C})& n\text{ 为偶数},\end{array}$$其中 $n$ 为奇数时, $d=2^{\frac{n-1}{2}}$; $n$ 为偶数时, $d=2^{\frac{n}{2}}$.

此外, $$\mathrm{Cl}(n,\mathbb{C}{)}^{+}\simeq \mathrm{Cl}(n-1,\mathbb{C}).$$

实数情形

实数域上, Clifford 代数满足如下递推关系.

命题 3.2 (递推关系).

•	$\mathrm{Cl}(p,q)\otimes \mathrm{Cl}(1,1)\simeq \mathrm{Cl}(p+1,q+1)$.

•	$\mathrm{Cl}(p,0)\otimes \mathrm{Cl}(0,2)\simeq \mathrm{Cl}(0,p+2)$.

•	$\mathrm{Cl}(0,q)\otimes \mathrm{Cl}(2,0)\simeq \mathrm{Cl}(q+2,0)$.

•	如 $p\ge 1$, $\mathrm{Cl}(p,q{)}^{+}\simeq \mathrm{Cl}(p-1,q)$; 如 $q\ge 1$, $\mathrm{Cl}(p,q{)}^{+}\simeq \mathrm{Cl}(q-1,p)$.

由此可以归纳证明下表列出的结构定理.

命题 3.3 (实 Clifford 代数的结构).

$p-q$ 模 $8$	$\mathrm{Cl}(p,q)$	$d$
$0$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q}{2}}$
$1$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{C})$	$2^{\frac{p+q-1}{2}}$
$2$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-2}{2}}$
$3$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})\times {\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-3}{2}}$
$4$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-2}{2}}$
$5$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{C})$	$2^{\frac{p+q-1}{2}}$
$6$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q}{2}}$
$7$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})\times {\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q-1}{2}}$

$p-q$ 模 $8$	$\mathrm{Cl}(p,q{)}^{+}$	$d$
$0$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})\times {\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q-2}{2}}$
$1$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q-1}{2}}$
$2$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{C})$	$2^{\frac{p+q-2}{2}}$
$3$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-3}{2}}$
$4$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})\times {\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-4}{2}}$
$5$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{H})$	$2^{\frac{p+q-3}{2}}$
$6$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{C})$	$2^{\frac{p+q-2}{2}}$
$7$	${\mathrm{M}}_d(\mathbb{R})$	$2^{\frac{p+q-1}{2}}$

这样的模 $8$ 周期也是 Bott 周期律的体现.

写一写如何将同构具体写出来……

4相关概念

术语翻译

Clifford 代数 • 英文 Clifford algebra • 德文 Clifford-Algebra (f) • 法文 algèbre de Clifford (f)