张量代数

向量空间 $V$ 的张量代数是 $V$ 与自身的多重张量积的直和$$\mathrm{T}(V)=\underset{n\ge 0}{⨁}{V}^{\otimes n},$$它由形如$$v_1\otimes \cdots \otimes v_n$$的元素张成, 其中 $n$ 是任何自然数, 每个 $v_i$ 是 $V$ 的元素.

1定义

定义 1.1 (张量代数). 设 $A$ 是交换环, $V$ 是 $A$-模. 则 $V$ 上的张量代数定义为分次 $A$-代数$${\mathrm{T}}^{\bullet }V=\underset{n\ge 0}{⨁}{\mathrm{T}}^{n}V=\underset{n\ge 0}{⨁}{V}^{\otimes n},$$其中 ${\mathrm{T}}^{n}V=V^{\otimes n}$ 是 $V$ 关于 $A$ 的 $n$ 重张量积, 并约定 $V^{\otimes 0}=A$. 这个代数的乘法记为 $\otimes$, 定义为$$(v_1\otimes \cdots \otimes v_n)\otimes (w_1\otimes \cdots \otimes w_m)=v_1\otimes \cdots \otimes v_n\otimes w_1\otimes \cdots \otimes w_m,$$其中 $v_i,w_i\in V$, 然后双线性地延拓到整个 ${\mathrm{T}}^{\bullet }V$ 上.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 张量代数 ${\mathrm{T}}^{\bullet }V$ 可以看作 $V$ 生成的自由代数, 它是遗忘函子 $A\text{-}\mathsf{Alg}\to A\text{-}\mathsf{Mod}$ 的左伴随. 这是自由–遗忘伴随的一个例子.

2性质

命题 2.1. 设 $E$ 是 $A$-代数, $f:V\to E$ 是 $A$-线性映射, 则存在唯一的 $A$-代数同态 $g:T^{\bullet }(V)\to E$ 延拓了 $f$. 如果 $E$ 是 $\mathbb{Z}$-分次的, 并且 $f(V)\subset E_1$, $g$ 也是分次环之间的同态.

因此对于 $u:V\to W$, 存在唯一的 $A$ 代数同态 $Tu:T^{\bullet }(V)\to T^{\bullet }(W)$ 延拓了 $u$, 并且是分次同态. 如果 $u$ 是满射, 那么 $Tu$ 也是满射, 并且 $Tu$ 的核就是 $u$ 的核生成的双边理想.

命题 2.2. $T^{\bullet }$ 将自由模映为自由模; 投射模映为投射模.

命题 2.3. 设 $K$ 是域, $V$ 是 $K$-向量空间, $M,N$ 是 $V$ 的子空间, 则 $T^{\bullet }(M)$ 是 $T(V)$ 的子代数, 并且$$T^{\bullet }(M\cap N)=T^{\bullet }(M)\cap T^{\bullet }(N).$$

命题 2.4. $T^{\bullet }$ 与基变换可交换: 设 $B$ 是 $A$-代数, 则 $T_B^{\bullet }(B{\otimes }_{A}M)\simeq B{\otimes }_A{T}_A^{\bullet }(M).$

命题 2.5. $T^{\bullet }$ 与余极限可交换: 设 $A=\mathrm{colim}{A}_i$, $M=\mathrm{colim}{M}_i$, 则 $T_A^{\bullet }(M)=\mathrm{colim}{T}_{A_i}^{\bullet }(M_i)$.

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3相关概念

•	对称代数
•	外代数
•	泛包络代数
•	Clifford 代数

术语翻译

张量代数 • 英文 tensor algebra • 德文 Tensoralgebra (f) • 法文 algèbre tensorielle