自由–遗忘伴随

在范畴论中, 自由–遗忘伴随给出了一类伴随函子:

$自由函子 ⊣ 遗忘函子 .$

这类伴随函子作用于两类代数结构构成的范畴之间, 一类代数结构比另一类带有更多运算. 两个函子大致分别是:

•	自由函子从较简单的代数结构 $X$ 出发, 形式地添加 $X$ 中元素在多出的那部分运算下得到的结果, 并让这些元素仅仅满足运算要求的那些关系, 从而得到较复杂的代数结构. 自由函子的像通常称为此范畴中的自由对象.

•	遗忘函子把较复杂的代数结构 $Y$ 中多出的那部分运算遗忘, 从而得到较简单的代数结构.

自由函子是遗忘函子的左伴随.

有一类遗忘函子不遗忘运算, 而是遗忘运算满足的一些性质, 例如 Abel 群范畴到群范畴, 群胚范畴到范畴的范畴等等. 这些遗忘函子都是全忠实函子, 且通常也有左伴随, 但一般不称为自由函子, 而称为 “… 化”. 例如群到 Abel 群的 Abel 化, 幺半群到群的群化等等.

1例子

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在群范畴和集合范畴之间:

∘	自由函子将集合 $S$ 映至它生成的自由群 $F_{S}$ .

∘	遗忘函子将群 $G$ 映至它的底集 $G$ .

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给定环 $A$ , 在 $A$ -左模范畴和集合范畴之间:

∘	自由函子将集合 $S$ 映至它生成的自由模 $A^{\oplus S}$ .

∘	遗忘函子将模 $M$ 映至它的底集 $M$ .

特别地, 将 $A$ 取为域, 则得到相应向量空间范畴与集合范畴之间的自由–遗忘伴随.

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给定交换环 $A$ , 在 $A$ -交换代数范畴与 $A$ -模范畴间:

∘	自由函子将 $A$ -模 $M$ 映至它的对称代数 $Sym_{A}^{∙} (M)$ .

∘	遗忘函子将 $A$ -交换代数 $B$ 视为 $A$ -模.

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在拓扑空间范畴和集合范畴间:

∘	自由函子将集合映至以它为底集的离散空间.

∘	遗忘函子将拓扑空间映至其底集.

此时遗忘函子也有右伴随, 将集合映至以它为底集的平凡拓扑空间, 称为余自由函子.

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在拓扑空间范畴和位象范畴间:

∘	自由函子将位象映至最小的朴实空间.

∘	遗忘函子给出拓扑空间里开集构成的序.

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∘	自由函子将箭图映到其生成的自由范畴.

∘	遗忘函子将范畴的对象视为箭图的顶点, 态射视为箭图的边.

术语翻译

自由–遗忘伴随 • 英文 free–forgetful adjunction