∞-范畴

$\infty$-范畴 (或无穷范畴) 是高阶范畴论的主要研究对象, 是范畴、$2$-范畴、$n$-范畴等概念的推广. 大致来说, $\infty$-范畴由以下信息组成:

•

一族对象.

•	在对象 $x,y$ 之间, 可以有 $1$-态射 $f:x\to y$.

•	在 $1$-态射 $f,g:x\to y$ 之间, 可以有 $2$-态射 $\alpha :f\Rightarrow g$.

$$xyfg\Downarrow \alpha$$

•	在 $2$-态射 $\alpha ,\beta :f\Rightarrow g$ 之间, 可以有 $3$-态射 $\xi :\alpha \Rrightarrow \beta$.

$$xyfg⟹\alpha ⟹\beta \Rrightarrow \xi$$

•	如此下去, 直至无穷.

在文献中, “$\infty$-范畴” 也常常特指 $(\infty ,1)$-范畴 (定义 1.2), 但我们不采用这种约定.

1想法

我们先给出 $\infty$-范畴的一个典型例子.

例 1.1 (拓扑空间的 $\infty$-范畴). 拓扑空间构成的 $\infty$-范畴由以下信息组成:

•	其对象为所有拓扑空间.

•	其 $1$-态射为拓扑空间之间的连续映射.

•	其 $2$-态射为连续映射之间的同伦.

•	其 $3$-态射为同伦之间的同伦,

•

...

在此例中, 注意到同伦 (即 $2$-态射) 的复合并不严格满足结合律, 因为将三个同伦复合起来的两种方式之间相差一个重参数化. 也就是说, 结合律只在相差高阶同伦的意义下满足.

事实上, 正如在普通范畴中, 我们只在相差同构的意义下谈论其对象, 在 $\infty$-范畴中, 我们并不谈论具体的某个对象、态射、高阶态射, 而都是只在相差同伦的意义下谈论它们. 它们应满足的性质, 例如复合的结合律、单位律等, 也都只在相差同伦的意义下满足. 这些同伦又需要满足相差更高阶同伦的运算律, 直至无穷. 这是 $\infty$-范畴相较于普通范畴的主要不同之处.

一类具有较完善理论的 $\infty$-范畴称为 $(\infty ,n)$-范畴. 这里给出不严格的定义.

定义 1.2 ($(\infty ,n)$-范畴). 设 $n\ge 0$ 为自然数. $(\infty ,\mathbf{n})$-范畴是指满足以下性质的 $\infty$-范畴:

•	对任意 $m>n$, 该 $\infty$-范畴的所有 $m$-态射都在同伦意义下可逆.

为避免歧义, 一般的 $\infty$-范畴也被称为 $(\infty ,\infty )$-范畴.

例如, 例 1.1 中的 $\infty$-范畴是 $(\infty ,1)$-范畴, 因为连续映射间的同伦总是可逆的.

2定义

在 $\infty$-范畴论中, 我们常常将 $\infty$-范畴视作一种抽象的对象, 并通过多种方式来描述它, 每种方式就能给出 $\infty$-范畴的一种定义. 这些定义是互相等价的, 我们将其视为 $\infty$-范畴的不同模型. 下面列举一些常见的观点.

通过单纯集

一种较常用的方法是, 将 $\infty$-范畴定义为满足某种条件的单纯集. 单纯集的 $0$ 维单形对应了 $\infty$-范畴的对象, $1$ 维单形对应了 $\infty$-范畴的 $1$-态射, 而高维单形则描述了态射间的同伦. 具体来说,

•	$(\infty ,0)$-范畴, 即 $\infty$-群胚, 定义为 Kan 复形.

•	$(\infty ,1)$-范畴定义为拟范畴.

但这种方法只能定义上述两种范畴, 而无法定义 $(\infty ,2)$-范畴或更高的 $\infty$-范畴.

通过内范畴

另一种方法是在 $\infty$-范畴论中考虑 $n$ 重范畴, 以定义 $(\infty ,n)$-范畴. 大致来说, 从 $\infty$-群胚的范畴 $\infty \text{-}\mathsf{Grpd}$ 出发, 做 $n$ 次内 $(\infty ,1)$-范畴的操作, 得到的就是 “$n$ 重 $(\infty ,1)$-范畴”. 但该范畴含有多余的信息, 例如, 像在普通的 $n$ 重范畴中一样, $1$-态射可以有 $n$ 个不同的方向, 这并不是 $(\infty ,n)$-范畴应该有的信息. 因此, 我们再要求这些方向中, 除了其中一个以外, 其余都是平凡的. 这样就能得到正确的 $(\infty ,n)$-范畴的概念.

这一想法可以借助 $n$ 重完备 Segal 空间的概念而严格写下来. 具体而言, 在这种方法中,

•	$(\infty ,0)$-范畴, 即 $\infty$-群胚, 定义为 Kan 复形.

•	$(\infty ,1)$-范畴定义为完备 Segal 空间.

•	$(\infty ,\mathbf{n})$-范畴定义为 $n$ 重完备 Segal 空间.

一般的 $\infty$-范畴

一般的 $\infty$-范畴, 即 $(\infty ,\infty )$-范畴, 并没有公认的定义, 但一种定义方式如下. 如果已经定义了 $(\infty ,n)$-范畴, 则可以从它出发而定义 $(\infty ,\infty )$-范畴. 大致来说, $(\infty ,\infty )$-范畴的范畴可以定义为极限$$\lim (\cdots \to (\infty ,2)\text{-}\mathsf{Cat}\to (\infty ,1)\text{-}\mathsf{Cat}\to (\infty ,0)\text{-}\mathsf{Cat}).$$也就是说, 一个 $(\infty ,\infty )$-范畴就是对每个 $n$ 给出一个 $(\infty ,n)$-范畴 ${\mathcal{C}}_n$, 使得 ${\mathcal{C}}_{n-1}$ 由 ${\mathcal{C}}_n$ 扔掉不可逆 $n$-态射而得. 参见 [MathOverflow].

3参考文献

$(\infty ,1)$-范畴论的标准参考:

•	Jacob Lurie (2009). Higher topos theory. Ann. Math. Stud. 170. Princeton University Press. (doi) (zbMATH) (pdf)

以下讨论了一般的 $(\infty ,\infty )$-范畴的定义:

•	MathOverflow. Is there an accepted definition of $(\infty ,\infty )$ category?

4相关概念

术语翻译

$\infty$-范畴 • 英文 $\infty$-category • 德文 $\infty$-Kategorie (f) • 法文 $\infty$-catégorie (f)

无穷范畴 • 英文 infinity category • 德文 Unendlich-Kategorie (f) • 法文 catégorie infinie (f)