生象化

生象化是高阶范畴论中的一种构造, 是一种自然地将普通范畴变成 $(\infty ,1)$-范畴的方法. 大致来说, 给定一个普通范畴 $\mathcal{C}$, 其生象化 $\mathsf{Ani}(\mathcal{C})$ 是一个包含 $\mathcal{C}$ 的 $(\infty ,1)$-范畴, 是 “向 $\mathcal{C}$ 中自然地添加所有同伦余极限” 而得到的范畴. 更准确地说, 这里的余极限是指筛余极限.

例如, 集合范畴的生象化是生象范畴, 也即空间 $(\infty ,1)$-范畴; 又例如, 交换环范畴的生象化是单纯交换环构成的 $(\infty ,1)$-范畴.

生象化起源于 [Rosický 2007] 对带同伦的代数理论的探索, 而后由 [Lurie 2009, §§5.5.8–5.5.9] 发展并称为非 Abel 导出范畴; “生象化” 一词出自 [Česnavičius–Scholze 2024, §5.1].

1定义

以下讨论和定义应简化.

在此先对于代数范畴理论进行一些回顾: 为更加方便的在一般的范畴上研究代数, Francis William Lawvere 提出代数理论这一概念, 粗略来说, 它是指一个带有有限积的范畴 $\mathcal{T}$. 对于带有有限积的范畴 $\mathcal{K}$, $\mathcal{K}$ 上的 $\mathcal{T}$-代数是指保有限乘积的函子 $\mathcal{T}\to \mathcal{K}$. 在集合范畴 $\mathsf{Set}$ 上的代数就是集合上所构建的代数结构. 在单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 上的代数可以视为在集合上的代数所构成的范畴中的单纯对象. 现在对于代数理论 $\mathcal{T}$, 考虑集合上全体 $\mathcal{T}$-代数所构成范畴 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})={\mathsf{Fun}}^{\times }(\mathcal{T},\mathsf{Set})$ (在 [Rosický 2007] 中叫簇) 其中 ${\mathsf{Fun}}^{\times }$ 是指保持有限积的函子所构成的全子范畴. 这一般并不能直接看出, 因此我们需要寻找在范畴等价意义下的类似物, [Adámek–Rosický 2001] 使用筛余极限语言对于 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 的范畴等价类似物进行了刻画, 他指出 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 等价于满足以下条件的范畴:

•

余完备.

•	存在由紧投射对象所构成的子集 $S$, 并且使得 $\mathcal{C}$ 中对象均为 $S$ 中对象的筛余极限.

[Adámek–Rosický 2001, Theorem 3.10] 说明满足上述条件的范畴等价于某个代数理论 $\mathcal{T}$ 所给出的 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$. 将 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 在高阶范畴论中的对应称为非 Abel 导出范畴. 而生象化是指将前文中等价于 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 的范畴 (后文中称为代数范畴, 定义 1.1) 移植到高阶范畴论环境中的操作.

定义 1.1 (代数范畴). 令 $\mathcal{C}$ 为余完备范畴, 称其为代数范畴是指存在具有有限余积的本质小全子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset \mathcal{C}$ 使其沿 Yoneda 嵌入 $y:{\mathcal{C}}_0\to {\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{C}}_0^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$ 以及 ${\mathcal{C}}_0\to \mathcal{C}$ 诱导出范畴等价$${\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{C}}_0^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})\to \mathcal{C}$$

定义 1.2 (非 Abel 导出范畴). 给定带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 其非 Abel 导出范畴 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是指 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 中保持有限乘积的函子所构成的全子范畴.

定义 1.3 (生象化). 对于代数范畴 $\mathcal{C}$. 称 $\mathcal{C}$ 的生象化 $\mathsf{Ani}(\mathcal{C})$ 是指 ${\mathcal{C}}_0$ 的非 Abel 导出范畴.

定义 1.4 (生象化函子). 给定代数范畴之间的态射 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 若其保持筛余极限, 则给出本质唯一的函子 $\mathsf{Ani}(F):\mathsf{Ani}(\mathcal{C})\to \mathsf{Ani}(\mathcal{D})$ 使得以下图表交换$${\mathcal{C}}_0\mathcal{D}\mathsf{Ani}(\mathcal{D})\mathsf{Ani}(\mathcal{C})F{\mid }_{{\mathcal{C}}_0}\mathsf{Ani}(F)$$称为 $F$ 的生象化.

注 1.5. 对于 $X\in \mathsf{Ani}(\mathcal{C})$, 有函子性的典范同构$${\pi }_0\mathsf{Ani}(F)(X)\simeq F({\pi }_0(X)),$$此处 ${\pi }_0$ 为生象化函子 $\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}(\mathcal{C})$ 的左伴随.

2性质

一般性质

代数范畴的性质:

命题 2.1. 对于代数范畴 $\mathcal{C}$, 记其紧投射对象所构成的全子范畴为 ${\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}$. 则有范畴等价 $\mathcal{C}\simeq \mathsf{Fun}(({\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})$. 即 ${\mathcal{C}}_0\simeq {\mathcal{C}}^{\mathrm{cp}}$.

证明. [Česnavičius–Scholze 2024, Proposition 5.1.2] 及其上讨论.

$\square$

而后以非 Abel 导出范畴的性质为主, 生象化的性质则作为推论.

命题 2.2. 生象范畴 $\mathsf{Ani}$ 是集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的生象化.

证明. 由于 $\mathsf{Fin}$ 中每个对象均可拆为若干个只有一个元素的对象的无交并 (即余积). 因此$${\mathsf{Fun}}^{\times }((\mathsf{Fin}{)}^{\mathrm{op}},\mathsf{Ani})\simeq \mathsf{Fun}(\ast ,\mathsf{Ani})\simeq \mathsf{Ani}.$$

$\square$

注 2.3. 因此生象是导出意义下的集合. [Česnavičius–Scholze 2024] 也将生象称为生象集.

命题 2.4. 令 $\mathcal{C}$ 为带有余积的 $(\infty ,1)$-范畴, 则

1.	${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 为 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 的可达局部化.
2.	Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 穿过 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$. 此外, $y$ 将 $\mathcal{C}$ 中对象映为 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 中对象的有限余积.
3.	令 $\mathcal{D}$ 为 可表现 $(\infty ,1)$-范畴且给出伴随对$$\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\mathcal{D}F\perp G$$则 $G$ 穿过 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 当且仅当 $f=F\circ y:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 保有限余积.
4.	全子范畴 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})\subseteq \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 在筛 $(\infty ,1)$-余极限下稳定.
5.	令 $L:\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\to {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 为嵌入函子的左伴随, 则 $L$ 保持筛余极限.
6.	${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是可表现的.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.10].

$\square$

由此可以推知:

推论 2.5. 非 Abel 导出范畴 ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是可表现 $(\infty ,1)$-范畴. 更进一步, ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 是完备且余完备的.

命题 2.6. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴, 且 $\mathcal{D}$ 为带有滤过余极限以及几何实现的 $(\infty ,1)$-范畴. 则

1.

Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\to {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 诱导范畴等价$$\theta :{\mathsf{Fun}}_{\Sigma }({\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C}),\mathcal{D})\simeq \mathsf{Fun}(\mathcal{C},\mathcal{D}).$$其中 ${\mathsf{Fun}}_{\Sigma }$ 是指保持筛 $(\infty ,1)$-余极限的函子所张成的全子范畴 (原文中为保持滤 $(\infty ,1)$-余极限以及几何实现 (单纯对象) 的函子, 由于 ${\mathsf{Psh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})$ 余完备, 因此根据筛 $(\infty ,1)$-余极限词条中的性质知为保持筛 $(\infty ,1)$-余极限)

2.

若 $\mathcal{D}$ 具有有限余积. 则 $g$ 保持小余极限当且仅当 $g\circ y$ 保有限余积.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.15]

$\square$

命题 2.7. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限余积的 $(\infty ,1)$-范畴, $\mathcal{D}$ 为带有滤过余极限以及几何实现的 $(\infty ,1)$-范畴. 且由 $F:{\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{C})\to \mathcal{D}$ 所诱导的函子 $f=F\circ y:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$. 考虑以下条件:

1.	$f$ 是全忠实的.
2.	$f$ 的本质像由 $\mathcal{D}$ 中的紧投射对象构成.
3.	$\mathcal{D}$ 由 $f$ 的本质像在滤 $(\infty ,1)$-余极限以及几何实现下生成.

若前两条满足则 $F$ 全忠实. 此外, 若第三条也满足则 $F$ 为范畴等价.

证明. [Lurie 2009, Proposition 5.5.8.22]

$\square$

定理 2.8. 对于交换环 $R$, $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

证明.

证明. 可以使用两个角度观察这一点:

•

(模型范畴角度) 考虑 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 情况下的 Dold–Kan 对应, 这给出 $\mathsf{s}R\text{-}\mathsf{Mod}$(带单纯模型结构) 与 ${\mathsf{Ch}}_{\ge 0}(R)$ (带投射模型结构) 的 Quillen 等价. 而前者无非是 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 所对应的代数理论 $\mathcal{C}$ 在定义 2.11 中所给出的 $\mathbf{A}$ . 从而根据推论 2.12 可知存在范畴等价 $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq \mathfrak{N}({\mathbf{A}}^{\circ })$. 而后者根据 Dold-Kan 对应给出范畴等价 $\mathfrak{N}({\mathbf{A}}^{\circ })\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

•

($(\infty ,1)$-范畴角度) 考虑有限生成投射 $R$-模所构成的全子范畴 $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$. 接下来说明 ${\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 而这只需说明 $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$ 生成 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 考虑函子 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-):{\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)\to \mathsf{Ani}$. 不难发现 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-)\simeq {\Omega }^{\infty }\underline{\mathrm{Hom}}(R,-)\simeq {\Omega }^{\infty }$. 而筛 $(\infty ,1)$-余极限词条中说明 ${\Omega }^{\infty }$ 保持筛余极限. 因此对于 $\mathsf{Ani}$ 中的筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 由于 $\mathsf{Ani}$ 是 $\mathsf{Set}$ 的生象化, 因此其筛 $(\infty ,1)$-余极限图表的对象均为有限集, 对于 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$ 中的筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 其像也为筛 $(\infty ,1)$-余极限图表, 从而为有限生成自由模 $R^n$ 所组成的图表. 由于 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 为 Grothendieck Abel 范畴, 因此 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$ 可表现. 而 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)(R,-)$ 显然保守, 从而全体有限生成投射模生成 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$.

$\square$

命题 2.9. 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 以及 $G:\mathcal{D}\to \mathcal{E}$ 为代数范畴间保持筛余极限的函子. 则有典范的自然变换$$\mathsf{Ani}(G)\circ \mathsf{Ani}(F)\Rightarrow \mathsf{Ani}(G\circ F).$$此外, 若满足以下二者之一, 则自然变换为同构:

1.	$F$ 将 ${\mathcal{C}}_0$ 映为 ${\mathcal{D}}_0$ (或更一般的, $F({\mathcal{C}}_0)\subset \mathrm{Ind}({\mathcal{D}}_0)$).
2.	$\mathsf{Ani}(G)(F({\mathcal{C}}_0))\subset \mathcal{E}\subset \mathsf{Ani}(\mathcal{E})$.

证明. [Česnavičius–Scholze 2024, Proposition 5.1.5]

$\square$

命题 2.10. 令 $\mathcal{A}$ 为由紧投射对象所生成的 Grothendieck Abel 范畴. 记 $\mathcal{P}$ 为其内紧投射对象所构成的范畴, 则 $\mathcal{P}\hookrightarrow \mathcal{A}$ 诱导出范畴等价$$\mathsf{Ani}(\mathcal{A})\simeq {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }(\mathcal{P})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathcal{A}),$$进行稳定化后得到 $\mathsf{Sp}$-值保持乘积函子的预层所构成范畴与导出 $(\infty ,1)$-范畴间的范畴等价$${\mathsf{Fun}}^{\times }({\mathcal{P}}^{\mathrm{op}},\mathsf{Sp})\simeq \mathsf{D}(\mathcal{A}).$$

模型结构

定义 2.11. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限积的范畴, 记 $\mathbf{A}:=\mathsf{sAlg}(\mathcal{C})$ 为全体保持乘积的 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{sSet}$ 所张成的全子范畴 (即取值于单纯集的代数结构). 则 $\mathbf{A}$ 具有以下单纯模型结构:

•	弱等价为对于全体 $c\in \mathbf{A}$, $\alpha (c):F(c)\to F^{\prime }(c)$ 为单纯集的弱同伦等价的自然变换 $\alpha :F\Rightarrow F^{\prime }$.

•	纤维化为对于全体 $c\in \mathbf{A}$, $\alpha (c):F(c)\to F^{\prime }(c)$ 为 Kan 纤维化的自然变换 $\alpha :F\Rightarrow F^{\prime }$.

推论 2.12. 有范畴等价$$\mathfrak{N}({\mathbf{A}}^{\circ })\simeq {\mathsf{PSh}}_{\Sigma }({\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}).$$此处 $\mathfrak{N}$ 是指同伦脉.

3例子

首先给出一些代数范畴以及其紧投射对象所构成全子范畴的例子:

•	集合范畴 $\mathsf{Set}$, ${\mathsf{Set}}^{\mathrm{cp}}=\mathsf{Fin}$.

•	群范畴 $\mathsf{Grp}$, ${\mathsf{Grp}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成自由群.

•	Abel 群范畴 $\mathsf{Ab}$, ${\mathsf{Ab}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成自由 Abel 群所构成的全子范畴.

•	令 $R$ 为交换环, 则 $R\text{-}\mathsf{Mod}$ 为代数范畴, $R\text{-}{\mathsf{Mod}}^{\mathrm{cp}}$ 为有限生成投射 $R$-模所构成的全子范畴 (事实上只需取 ${\mathcal{C}}_0$ 为有限生成自由 $R$-模所构成的全子范畴).

•	令 $R$ 为交换环, 则 $R\text{-}\mathsf{CAlg}$ 为代数范畴, 令 $\mathsf{Poly}(R)$ 为有限生成多项式代数 $R[T_1,\cdots ,T_n]$, $n\ge 0$ 张成的全子范畴则 $R\text{-}{\mathsf{CAlg}}^{\mathrm{cp}}$ 为 $\mathsf{Poly}(R)$ 及其收缩所构成的全子范畴 (实际使用时只需取 ${\mathcal{C}}_0$ 为 $\mathsf{Poly}(R)$ 即可).

而后给出它们所对应的生象化:

•	由命题 2.2 可知集合的生象化即为生象.

•	由定理 2.8 的类似思想可知, $\mathsf{Grp}$ 的生象化相当于对单纯群范畴中的弱等价取逆. 根据 [Lurie, Theorem 5.2.6.10, Corollary 5.2.6.21] 可知 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Grp})$ 为 ${\mathbb{E}}_1$-群所构成的 $(\infty ,1)$-范畴.

•

由定理 2.8 可知, 对于交换环 $R$, $\mathsf{Ani}(R\text{-}\mathsf{Mod})\simeq {\mathsf{D}}_{\ge 0}(R)$. 由于 $\mathsf{Ab}$ 为 $\mathbb{Z}\text{-}\mathsf{Mod}$, 则 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Ab})$ 为 ${\mathsf{D}}_{\ge 0}(\mathbb{Z})$. (但是 $\mathsf{Ani}(\mathsf{Ab})$ 不等价于 $\mathsf{Ani}$ 中的交换群, 即 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-群所构成的 $(\infty ,1)$-范畴) 可以将其视为 $\mathsf{Ani}$ 中的 Abel 群对象.

•	由定理 2.8 的类似思想可知, $R-\mathsf{CAlg}$ 的生象化相当于对单纯 $R$-代数范畴中的弱等价取逆.

4参考文献

非 Abel 导出范畴原始论文:

•	Jiří Rosický (2007). “On homotopy varieties”. Advances in Mathematics 214 (2), 525–550. arXiv: math/0509655 [math.CT].

与 $\mathsf{Alg}(\mathcal{T})$ 等价的范畴:

•	Jiří Adámek, Jiří Rosický (2001). “On sifted colimits and generalized varieties.”. Theory and Applications of Categories 8, 33–53. (web)

一般参考:

•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.

•	Jacob Lurie. Higher Algebra.

•	Kęstutis Česnavičius, Peter Scholze (2024). “Purity for flat cohomology”. Annals of Mathematics 199 (1), 51–180. arXiv: 1912.10932 [math.AG].

•	Adeel A. Khan (2023). “Lectures on algebraic stacks”. arXiv: 2310.12456 [math.AG].

5相关概念

术语翻译

生象化 • 英文 animation

非 Abel 导出范畴 • 英文 nonabelian derived category

代数范畴 • 英文 algebraic category