有限生成模

有限生成模, 又称有限型模, 指被有限个元素生成的模. 这是关于最基本的有限性条件.

1定义

定义 1.1. , 是左 -模. 称 有限生成, 指存在 以及 , 满足每个元素 都能写成 的形式, 其中 . 换言之, 有限个元素 生成 .

右模自然也可作类似定义.

2例子

有限维线性空间是有限生成模.

一般地, 对 , 是有限生成 -模.

是有限生成 -模: 它被 生成.

一般地, 有限生成模的商模有限生成.

不是有限生成 -模: 有限个分数总能通分, 分母不整除它们的公分母的分数自然不被它们生成.

3性质

有限生成模的定义是用元素写出; 其实它有一些范畴论刻画, 可不用提及元素, 直接在范畴 中取出有限生成模.

命题 3.1 (拟紧). 有限生成, 当且仅当对任一族左 -模 以及满射 , 存在有限子集 使得 已经满.

命题 3.2 (紧). 有限生成, 当且仅当对任一左 -模 滤相系的子模 满足 , 每个映射 都穿过某个 .

另外在环交换时有限生成模还有一重要性质, 见 Nakayama 引理.

引理 3.3. 是交换环, 是理想, 是有限生成 -模, 被 个元素生成. 则对任一同态 , 都存在 , 使得这里次方表示 复合自己.

4相关概念

有限表现模

可数生成模

Noether 模

有限代数

拟紧对象

术语翻译

有限生成模英文 finitely generated module德文 endlich erzeugter Modul法文 module de type fini拉丁文 modulus finite generatus古希腊文 πεπερασμένως παραγόμενον πρότυπον