Nakayama 引理

Nakayama 引理 (也称为 Nakayama–Azumaya–Krull 引理) 是交换代数中的一个基本结论, 它描述了交换环的 Jacobson 根与该环上非零的有限生成模之间的联系.

1陈述与证明

以下引理虽通常不叫 “Nakayama 引理”, 但它是相关命题中形式最强者, 在整性中亦有应用.

引理 1.1. $R$ 是交换环, $I\subseteq R$ 是理想, $M$ 是有限生成 $R$-模, 被 $n$ 个元素生成. 则对任一同态 $f:M\to IM$, 都存在 $a_1,\dots ,a_n\in I$, 使得$$f^n+a_1{f}^{n-1}+\cdots +a_n=0.$$这里次方表示 $f$ 复合自己.

证明. 设 $\{x_1,\dots ,x_n\}$ 为 $M$ 的一组生成元, 并设$$f(x_i)=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j,$$其中 $a_{ij}\in I$. 记 $A=(a_{ij})$ 为这些元素构成的 $n\times n$ 矩阵, 并令$$p(t)=\det (t{I}_n-A)=t^n+a_1{t}^{n-1}+\cdots +a_n$$为 $A$ 的特征多项式. 则由 Cayley–Hamilton 定理, $p(A)=0$, 于是 $p(f)=0$, 即 $f^n+a_1{f}^{n-1}+\cdots +a_n=0$. 由于 $a_{ij}\in I$, 容易发现 $a_i\in I$.

$\square$

定理 1.2 (Nakayama 引理). 设 $R$ 是交换环, $M$ 为 $R$ 上的有限生成模.

1.	如果理想 $I\subset R$ 满足$$IM=M,$$则存在 $r\in R$, 使得 $rM=0$ 且 $r\equiv 1(\mathrm{mod}I)$.
2.	记 $J$ 为 $R$ 的 Jacobson 根. 如果 $JM=M$, 那么 $M=0$.

证明.

1.	在引理 1.1 中令 $f=\mathrm{id}$, 即得 $a_1,\dots ,a_n\in I$, 使得$$(1+a_1+\cdots +a_n)M=0.$$于是 $r=1+a_1+\cdots +a_n$ 即为所求.
2.	这是因为 $1+J\subseteq R^{\times }$.

$\square$

2推论

推论 2.1. 记号同定理 1.2. 如果子模 $N\subseteq M$ 满足 $M=N+JM$, 那么 $M=N$.

证明. $M=N+JM$ 即 $M/N=J(M/N)$. 由定理 1.2, 这推出 $M/N=0$, 即 $M=N$.

$\square$

推论 2.2. $N,M$ 是 $R$-模, $M$ 有限生成, $f:N\to M$ 是模同态. 如 $f$ 在模 $J$ 之后是满射, 则 $f$ 自己就是满射.

证明. 对 $f(N)\subseteq M$ 用推论 2.1 即足.

$\square$

推论 2.3. $N,M$ 是有限生成 $R$-模, $M$ 投射, $f:N\to M$ 是模同态. 如 $f$ 在模 $J$ 之后是同构, 则 $f$ 自己就是同构.

证明. 用推论 2.2 知 $f$ 是满射. 于是用投射性知存在 $g:M\to N$ 使得 $f\circ g={\mathrm{id}}_M$. 于是 $N=M\oplus K$, $K=\ker (f)$. 现由 $f$ 模 $J$ 是同构知 $K/JK=0$, 故由定理 1.2 知 $K=0$, $N=M$.

$\square$

现设 $R$ 是局部环, 极大理想为 $\mathfrak{m}$, 剩余域为 $k$. 则 $\mathfrak{m}$ 也是 $R$ 的 Jacobson 根. 此时 Nakayama 引理说明有限生成 $R$ 模有 “唯一” 的极小生成元组:

推论 2.4. $M$ 是局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 上的有限生成模. 设 $n={\dim }_k(M/\mathfrak{m}M)$, 则

•	$M$ 可由 $n$ 个元素生成.
•	$m_1,\dots ,m_n\in M$ 生成 $M$ 当且仅当其在 $M/\mathfrak{m}M$ 中的像是 $M/\mathfrak{m}M$ 在 $k$ 上的一组基.
•	不同的 $n$ 元生成集之间相差 $R$ 上的可逆矩阵.

证明. 由推论 2.1, $M$ 中一些元素生成 $M$, 当且仅当它们在 $M/\mathfrak{m}M$ 中的像生成 $M/\mathfrak{m}M$, 这样便得到前两句话. 至于第三句话, 设 $m_1,\dots ,m_n$ 与 $m_1^{\prime },\dots ,m_n^{\prime }$ 是两组生成元, 并设$$m_i^{\prime }=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{m}_j,$$要证 $(a_{ij})$ 是 $R$ 上可逆矩阵. 由于两组生成元的像都是 $M/\mathfrak{m}M$ 在 $k$ 上的基, 有矩阵 $(a_{ij}\mathrm{mod}\mathfrak{m})$ 在 $k$ 上可逆. 于是 $\det (a_{ij})\mathrm{mod}\mathfrak{m}$ 非零, 即 $\det (a_{ij})\in R^{\times }$, 故 $(a_{ij})$ 可逆.

$\square$

推论 2.5. 交换环上有限生成幂等理想是主理想, 由一个幂等元生成.

证明. 设 $A$ 是交换环, $I$ 是其有限生成理想, $I^2=I$. 由定理 1.2, 存在 $e\in 1+I$ 使得 $eI=0$. 于是 $e(1-e)=0$, 即 $e$ 是幂等元. 现对任意 $i\in I$ 都有 $i=ei+(1-e)i=(1-e)i$, 所以 $I=(1-e)$ 由一个幂等元生成.

$\square$

3其他版本

定理 3.1 (非交换 Nakayama). $R$ 是环, $J$ 是其 Jacobson 根, $M$ 是有限生成左 $R$-模. 如果 $JM=M$, 那么 $M=0$.

证明. 设 $M$ 由 $m_1,\dots ,m_n$ 生成, 且生成元个数 $n$ 尽可能小. 如 $n\ne 0$, 由 $JM=M$, 存在 $a_1,\dots ,a_n\in J$, $$m_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{m}_i.$$此即$$(1-a_n)m_n=\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i{m}_i;$$而 $a_n\in J$, $1-a_n\in R^{\times }$, 于是 $m_n$ 可被 $m_1,\dots ,m_{n-1}$ 生成, 与 $n$ 最小矛盾! 故 $n=0$, 即 $M=0$.

$\square$

定理 3.2 (导出 Nakayama). $R$ 是交换环, $I$ 是其有限生成理想, $M\in \mathsf{D}(R)$ 为导出 $I$-完备. 如果 $M{\otimes }_A^{L}A/I=0$, 那么 $M=0$.

4相关概念

•

导出完备

术语翻译

Nakayama 引理 • 英文 Nakayama’s lemma • 德文 Lemma von Nakayama • 法文 lemme de Nakayama