Cohen–Macaulay 模

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, Cohen–Macaulay 模是 Noether 局部环上一类同调表现良好的模. 具体地说, 它指的是深度等于 Krull 维数的模.

1定义

定义 1.1. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是有限生成 $R$-模. 称 $M$ 为 Cohen–Macaulay 模, 简称 CM 模, 指的是 $M=0$ 或 $\mathrm{depth}(M)=\dim M$. 如此数还等于 $\dim R$, 则称 $M$ 为极大 Cohen–Macaulay 模, 简称 MCM 模.

说 Noether 环上的有限生成模 Cohen–Macaulay, 指的是其在各个素理想处局部化为 Cohen–Macaulay.

注 1.2. 下面 (命题 2.6) 将会看到, 以上定义的两个 Cohen–Macaulay 等价.

注 1.3. 由深度的性质, Noether 局部环上的有限生成模, 深度不大于维数. Cohen–Macaulay 相当于要求它也不小于维数.

2性质

命题 2.1. 有限长模 Cohen–Macaulay.

证明. 非零有限长模的深度和维数显然都是 $0$.

$\square$

命题 2.2. 局部环上的 Cohen–Macaulay 模每个结合素理想的商环维数都等于模的维数. 特别地, 它没有嵌入素理想.

证明. 设 $(R,\mathfrak{m})$ 是局部环, $M$ 是其 Cohen–Macaulay 模. 由深度的性质, 对每个 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(M)$, $\dim A/\mathfrak{p}\ge \mathrm{depth}(M)=\dim M$, 此即欲证.

$\square$

定理 2.3 (切片判别法). $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是非零有限生成 $R$-模, $\dim M=d$. 设 $c\in \mathbb{N}$, $r_1,\dots ,r_c\in \mathfrak{m}$, $\dim M/(r_1,\dots ,r_c)M=d-c$. 则 $M$ 是 (极大) Cohen–Macaulay 模, 当且仅当 $r_1,\dots ,r_c$ 是 $M$-正则序列且 $M/(r_1,\dots ,r_c)M$ 是 (极大) Cohen–Macaulay 模.

证明. 由深度的性质, 如 $r_1,\dots ,r_c$ 是 $M$-正则序列, 则 $\mathrm{depth}(M/(r_1,\dots ,r_c)M)=\mathrm{depth}(M)-c$, 故关于 Cohen–Macaulay 模的命题推出关于极大 Cohen–Macaulay 模的命题. 只需证前者.

用归纳法, 只需证 $c=1$ 情形. 设 $r\in \mathfrak{m}$ 满足 $\dim M/rM=d-1$. 则如 $r$ 是 $M$ 的非零因子, $M/rM$ 是 Cohen–Macaulay 模, 则 $\mathrm{depth}(M)=\mathrm{depth}(M/rM)+1=d=\dim M$, 故 $M$ 为 Cohen–Macaulay 模. 反过来如 $M$ 是 Cohen–Macaulay 模, $\dim M/rM=d-1$, 则由命题 2.2 知 $r$ 不属于 $M$ 的任一个结合素理想, 于是 $r$ 为 $M$ 的非零因子. 这样 $\mathrm{depth}(M/rM)=\mathrm{depth}(M)-1=d-1=\dim M/rM$, 故 $M/rM$ 也是 Cohen–Macaulay 模.

$\square$

推论 2.4. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是 Cohen–Macaulay $R$-模, $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Spec}R$. 则 $R$ 为均维悬链环.

证明. 需证每一条极长的素理想链都等长. 设$${\mathfrak{p}}_0⫋{\mathfrak{p}}_1⫋\cdots ⫋{\mathfrak{p}}_d=\mathfrak{m}$$是这样一条链, 要证 $d=\dim R$. 对 $d$ 归纳. $d=0$ 时显然. $d>0$ 时, 由于这里的 ${\mathfrak{p}}_0$ 是极小素理想而 ${\mathfrak{p}}_1$ 不是, 用素理想回避可取 $r\in {\mathfrak{p}}_1$ 不在各个极小素理想中. 于是由命题 2.2, $r\notin \mathrm{Ass}(M)$, 故 $r$ 是 $M$ 的非零因子. 这样 $M/rM$ 是 Cohen–Macaulay $R/r$-模,

$${\bar{\mathfrak{p}}}_1⫋\cdots ⫋{\bar{\mathfrak{p}}}_d=\bar{\mathfrak{m}}$$

是 $R/r$ 的极长素理想链. 只需证 $\mathrm{Supp}(M/rM)=\mathrm{Spec}R/r$.

由于 $r$ 是 $M$ 的非零因子, 对每个正整数 $n$, $M/r^{n}M$ 都有个滤链, 相邻两项的商同构于 $M/rM$, 于是 $\mathrm{Supp}(M/r^{n}M)=\mathrm{Supp}(M/rM)$. 现对 $R$ 中包含 $r$ 的素理想 $\mathfrak{q}$, 用 $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Spec}R$ 取结合素理想 $\mathrm{Ass}(M)\ni \mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$, 则存在子模 $N\subseteq M$, $N\cong R/\mathfrak{p}$. 由 Artin–Rees 引理, 存在 $c\in \mathbb{N}$, $r^{c}M\cap N\subseteq rN$, 这样 $N/rN$ 就是 $M/r^{c}M$ 的子商; 而 $N/rN\cong R/(\mathfrak{p}+(r))$, $\mathfrak{q}$ 当然在其支集中; 故 $\mathfrak{q}\in \mathrm{Supp}(M/r^{c}M)=\mathrm{Supp}(M/rM)$.

$\square$

定理 2.5 (正则序列刻画). $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是非零有限生成 $R$-模. 以下几条等价:

•	$M$ 是极大 Cohen–Macaulay 模.
•	$R$ 的每个参数系都是 $M$-正则序列.
•	$R$ 有一个参数系是 $M$-正则序列.

证明. 如 $M$ 是极大 Cohen–Macaulay 模, $r_1,\dots ,r_d\in \mathfrak{m}$ 是 $R$ 的参数系, 则 $\dim M=d$, $\dim M/(r_1,\dots ,r_d)M=0$. 于是由定理 2.3 知 $r_1,\dots ,r_d$ 是 $M$-正则序列.

反过来如存在参数系 $r_1,\dots ,r_d$ 是 $M$-正则序列, 则 $\mathrm{depth}(M)=\mathrm{depth}(M/(r_1,\dots ,r_d)M)+d=d=\dim R\ge \dim M$, 故 $M$ 为 Cohen–Macaulay.

$\square$

命题 2.6. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $\mathfrak{p}$ 是其素理想. 如 $M$ 是 Cohen–Macaulay $R$-模, 则 $M_{\mathfrak{p}}$ 是 Cohen–Macaulay $R_{\mathfrak{p}}$-模.

证明. 不妨设 $M_{\mathfrak{p}}\ne 0$. 对 $d=\dim M_{\mathfrak{p}}$ 归纳. 如 $d=0$, 则 $M_{\mathfrak{p}}$ 为有限长, 由命题 2.1 知其为 Cohen–Macaulay. 如 $d>0$, 则 $\mathfrak{p}$ 不是 $M$ 的极小素理想, 由命题 2.2 知其也不是 $M$ 的结合素理想. 用素理想回避取 $r\in \mathfrak{p}$ 不在 $M$ 各个结合素理想中, 则 $r$ 是 $M$ 的非零因子. 现在对 $M$ 和 $M_{\mathfrak{p}}$ 各用一次定理 2.3, 由归纳假设即得结论.

$\square$

下面的命题说的是 Cohen–Macaulay 模在变换基环时的性质.

命题 2.7. 设 $(R,\mathfrak{m})\to (S,\mathfrak{n})$ 是 Noether 局部环的局部同态, $M$ 是 Cohen–Macaulay $R$-模, $N$ 是在 $R$ 上平坦的 $S$-模, 满足 $N/\mathfrak{m}N$ 是 Cohen–Macaulay $S/\mathfrak{m}S$-模. 则 $M{\otimes }_{R}N$ 是 Cohen–Macaulay $S$-模, 且 $\dim (M{\otimes }_{R}N)=\dim (M)+\dim (N/\mathfrak{m}N)$.

证明. 深度条目的对应命题给出$${\mathrm{depth}}_{\mathfrak{n}}(M{\otimes }_{R}N)={\mathrm{depth}}_{\mathfrak{m}}(M)+{\mathrm{depth}}_{\mathfrak{n}}(N/\mathfrak{m}N);$$而纤维维数公式给出$$\dim (M{\otimes }_{R}N)\le \dim (M)+\dim (N/\mathfrak{m}N);$$合起来即得欲证.

$\square$

推论 2.8. 设 $A\to B$ 是 Noether 环的 Cohen–Macaulay 同态, $M$ 是 Cohen–Macaulay $A$-模. 则 $M{\otimes }_{A}B$ 是 Cohen–Macaulay $B$-模.

证明. 由定义立即化归到 $A\to B$ 是局部环的局部同态的情形, 而这就是命题 2.7 的 $N=S$ 情形.

$\square$

推论 2.9. $A$ 是 Noether 环, $M$ 是 Cohen–Macaulay $A$-模, $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Spec}A$. 则 $A$ 为泛悬链环.

证明. 只需对任意 $n\in \mathbb{N}$ 证明 $A[x_1,\dots ,x_n]$ 是悬链环. 在推论 2.8 中取 $B=A[x_1,\dots ,x_n]$ 知 $M{\otimes }_{A}A[x_1,\dots ,x_n]$ 是 Cohen–Macaulay $A[x_1,\dots ,x_n]$-模, 且由 $\mathrm{Supp}(M)=\mathrm{Spec}A$ 容易发现 $\mathrm{Supp}(M{\otimes }_{A}A[x_1,\dots ,x_n])=\mathrm{Spec}A[x_1,\dots ,x_n]$. 这样由推论 2.4 即得结论.

$\square$

3例子

•	有限长模都是 Cohen–Macaulay 模.
•	Cohen–Macaulay 环是自身的 Cohen–Macaulay 模. 特别地, 正则环都是自身的 Cohen–Macaulay 模.
•	任取域 $k$. 则 $R=k[[x,y]]/(x^2,xy)$ 作为自身的模, 深度为 $0$, 维数为 $1$, 故不是 Cohen–Macaulay 模. 而 $k[[x,y]]/x$ 是 Cohen–Macaulay $R$-模, 因有正则序列 $y$.

4推广

极大 Cohen–Macaulay 模的概念可推广至未必有限生成的模.

定义 4.1. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是 $R$-模. 称 $M$ 为大 Cohen–Macaulay 模, 指的是 $\mathfrak{m}M\ne M$, 且 $R$ 的每一个参数系都是 $M$-正则序列.

注 4.2. 一些地方将此概念称作平衡大 Cohen–Macaulay 模, 而用 “大 Cohen–Macaulay 模” 一词表示更弱的概念: $R$ 的某个参数系是 $M$-正则序列. 由于相关的同调猜想已对较强的概念证明, 故定义得强点没什么坏处.

注 4.3. 注意 “大 Cohen–Macaulay 模” 比 “极大 Cohen–Macaulay 模” 大, 因为后者专指有限生成的.

5相关概念

•	奇迹平坦
•	同调猜想
•	局部上同调

术语翻译

Cohen–Macaulay 模 • 英文 Cohen–Macaulay module • 德文 Cohen–Macaulay-Modul • 法文 module de Cohen–Macaulay

极大 Cohen–Macaulay 模 • 英文 maximal Cohen–Macaulay module • 德文 maximaler Cohen–Macaulay-Modul • 法文 module maximal de Cohen–Macaulay

大 Cohen–Macaulay 模 • 英文 big Cohen–Macaulay module • 德文 großer Cohen–Macaulay-Modul • 法文 grand module de Cohen–Macaulay

平衡大 Cohen–Macaulay 模 • 英文 balanced big Cohen–Macaulay module • 德文 balancierter Cohen–Macaulay-Modul • 法文 module balancé de Cohen–Macaulay