深度

约定. 在本文中,

深度是个交换代数概念, 是交换环上模的一个同调不变量, 大体描述其正则序列最长有多长.

1定义

定义 1.1. 是环, -模, 的理想. 则 -深度, 记作 , 定义为

局部环时, 深度指的是 -深度, 此时也在记号中省略 . 局部环 的深度指的是它作为自己的模的深度. 一般环的深度指的是其在各处局部化的深度上确界.

注 1.2. 依定义:

零模的深度是 .

非零模的 -深度是 .

局部环 的模 的深度是 等价于剩余域 可以嵌入 , 于是也等价于 结合素理想.

2性质

首先是一般性质.

命题 2.1. 是环, -模, 的理想. 则对 -模 以及自然数 .

证明.-自由消解 , 其中各项是自由 -模. 则有谱序列由于各 是自由 -模, 时为 , 即得欲证.

推论 2.2. 是环, -模, 的理想.

, 则 .

, .

特别地, 如 有限生成且 , 则 , 即此时它只依赖于 .

证明., 则 -模, 由命题 2.1 立得结论.

, 由上一段首先有 . 另一方面, 对 , 都是 -模, 故对 , 于是由 的长正合列即知 , 所以也有 .

命题 2.3. 是环同态, 的理想, 记 . 则对 -模 .

证明. 由谱序列以及每个 都是 -模, 用命题 2.1此即欲证.

命题 2.4 (局部化). Noether 环, 是其理想, 是其乘性子集. 则对任意 -模 ,

证明. 由于 , 用命题 2.3 知不等号右边等于 . 于是由 是一些 的滤余极限以及从 Noether 环有限生成模出发的 与滤余极限交换, 即得结论.

下面我们将深度与正则序列联系起来.

引理 2.5. 是环, -模, 的理想. 如 非零因子, 则 .

证明. 首先 , 因为等于 的话 说明 中元素都是 的零因子. 写短正合列 长正合列, 有所以:

, 就有 , 从而 .

, 就有 , 而 于是 的自映射 “乘以 ” 是 , 从而 .

综上所述, .

定理 2.6. Noether 环, 是其有限生成模. 则:

-正则序列的最大长度.

中任一 -正则序列都能续至 的长度.

特别地, 中的极长 -正则序列等长, 长度为 .

证明. 由引理 2.5, 只需证如 , 中就有 的非零因子. 无非是 , 即 中每个元素的零化子都不包含 . 这说明 的每个结合素理想都不包含 . 由结合素理想的理论, 只有有限个结合素理想, 且并起来就是 零因子集. 故由素理想回避, 中有 的非零因子.

然后是一些估计.

命题 2.7 (被生成元个数控制). 是环, 是其中 元生成的理想. 则对任意 -模 , 要么不超过 , 要么是 .

证明. 考虑 Koszul 复形 . 它是个由自由 -模组成的链复形, 只在下标 非零; 它各阶同调都是 -模, 且零阶同调是 . 现设 . 则由谱序列以及命题 2.1, 另一方面, 由自由 -模组成, 故可直接计算只可能在 非零. 故 .

引理 2.8. 是 Noether 局部环, 是其上有限生成模. 的非零因子, . 设 是包含 的素理想中极小者. 则 .

证明.结合素理想的定义, 可取 , . 用 Artin–Rees 引理 使得 . 考虑 中的像 , 则 , 故 的商模. 而 显然是 的商模, 所以 . 于是 中极小素理想, 故属于 . 现由 , 知 . 最后, 的非零因子, 故 有滤链, 每一项同构于 . 于是 , 得到结论.

定理 2.9. 是 Noether 局部环, 是其上有限生成模. 则对任意 , . 特别地, 非零有限生成模的深度为有限.

证明. 归纳. 自不必证. 如 , 由定理 2.6, 可取 的非零因子, 则自然 . 于是由维数理论, , 故可取素理想 , 在 上极小, . 由引理 2.8, ; 由引理 2.5, ; 二者结合, 由归纳假设即得结论.

注 2.10. “Noether 局部环上非零有限生成模深度有限” 实际上比此命题容易得多. 直接的证明留作练习.

最后是变换基环时的性质.

命题 2.11. 是 Noether 局部环的局部同态, 是有限生成 -模, 是有限生成 -模, 在 上平坦. 则

证明. 对等号右边归纳. 如等号右边为 , 则由注 1.2, 可以嵌入 , 且 可以嵌入 . 由于 上平坦, 这就说明 可以嵌入 , 再次用注 1.2 即知等号左边也是 .

, 取 的非零因子 . 由于 上平坦, 中的像是 的非零因子. 于是由引理 2.5 及归纳假设即得欲证.

, 取 的非零因子 . 对映射 使用平坦模局部判别法的推论, 知 的非零因子, 且 上平坦. 再对短正合列, 知 也是 的非零因子. 于是由引理 2.5 及归纳假设即得欲证.

3例子

Cohen–Macaulay 模的深度等于其 Krull 维数.

Noether 局部环 上有限生成模 的深度是 当且仅当 . 一个例子是 , , 此时 . 此例中 , .

4推广

深度可推广至链复形.

定义 4.1. 是环, , 的理想. 则 -深度, 记作 , 定义为它可以是 、整数、. 当 局部环时, 深度指的是 -深度, 此时也在记号中省略 .

它与局部上同调密切相关:

命题 4.2. 是环, 是其有限生成理想, . 则特别地, 此时 -深度只依赖零点集 .

证明. 要证对任意 , 当且仅当 . 平移可不妨设 . 现如 , 则由 挠复形, 用伴随性知 . 另一方面如 , 则:

把任意 -自由消解, 知 ;

对任一 , 把任意 拆成各项商属于 的滤链, 知 ;

最后写 , 由于对任一 , Koszul 复形 , 知

5相关概念

正则序列

Cohen–Macaulay 模

奇迹平坦

内射维数

Auslander–Buchsbaum 公式

术语翻译

深度英文 depth德文 Tiefe (f)法文 profondeur (f)拉丁文 profundum (n)古希腊文 βάθος (n)