非分歧同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

非分歧同态是微分模为零的有限型环同态. 在代数–几何对偶下, 它模拟了微分流形的浸入.

1定义

定义 1.1. 称环同态 $R\to A$ 为非分歧同态, 指其有限型, 且微分模 ${\Omega }_{A/R}=0$. 此时也称 $A$ 为非分歧 $R$-代数.

注 1.2. Grothendieck 的原始定义要求非分歧同态有限表现, 但现在一般认为这没那么自然. 叠计划把有限表现非分歧叫 G-非分歧.

2性质

命题 2.1. 非分歧同态的复合、基变换仍是非分歧同态.

证明. 有限生成与微分模两者都能基变换. 有限生成显然对复合封闭, 而关于微分模, 对环同态 $R\to A\to B$ 有右半正合列$${\Omega }_{A/R}{\otimes }_{A}B\to {\Omega }_{B/R}\to {\Omega }_{B/A}\to 0$$所以 ${\Omega }_{A/R}={\Omega }_{B/A}=0$ 推出 ${\Omega }_{B/R}=0$.

$\square$

以下命题来自微分模的对角线刻画.

命题 2.2. 设 $R\to A$ 有限型. 则它非分歧, 当且仅当乘法映射 $A{\otimes }_{R}A\to A$ 是局部化一个幂等元, 即 $A$ 是 $A{\otimes }_{R}A$ 的直积分量.

证明. 记 $I=\ker (A{\otimes }_{R}A\to A)$, 则它有限生成: 如 $a_1,\dots ,a_n\in A$ 作为 $R$-代数生成 $A$, 则 $1\otimes a_1-a_1\otimes 1,\dots ,1\otimes a_n-a_n\otimes 1$ 生成理想 $I$. 由微分模的性质有 ${\Omega }_{A/R}=I/I^2$, 所以 $R\to A$ 非分歧等价于 $I=I^2$. 由 Nakayama 引理的推论这等价于 $I$ 由一个幂等元生成, 即 $A$ 是 $A{\otimes }_{R}A$ 的直积分量.

$\square$

下面的命题给出域上非分歧代数的分类.

命题 2.3. 域上非分歧代数是有限个有限可分扩张的乘积. 从而非分歧同态拟有限.

证明. 先考虑代数闭域情形. 设 $k$ 为代数闭域, $A$ 为其上非分歧代数, 我们来证明 $A$ 是有限个 $k$ 的乘积. 由 Hilbert 零点定理, $A$ 的任一极大理想 $\mathfrak{m}$ 剩余域都是 $k$. 由于满射显然是非分歧同态, 有 $A/{\mathfrak{m}}^2$ 是非分歧 $k$-代数. 记 $V=\mathfrak{m}/{\mathfrak{m}}^2$, 则作为代数有 $A/{\mathfrak{m}}^2=k\oplus V$, 其中 $V$ 中元素之间乘积为 $0$. 具体计算微分模知有同构 $V\cong {\Omega }_{(k\oplus V)/k}{\otimes }_{k\oplus V}k$, $v\mapsto \mathrm{d}v\otimes 1$. 由非分歧, 这推出 $V=0$, 即 $\mathfrak{m}={\mathfrak{m}}^2$, 由 Nakayama 引理 $A_{\mathfrak{m}}=k$. 这对每个 $\mathfrak{m}$ 成立, 从而 $A$ 是有限个 $k$ 的乘积.

现在对一般域 $k$ 及其上非分歧代数 $A$, 以 $\bar{k}$ 记 $k$ 的代数闭包, 则 $A{\otimes }_k\bar{k}$ 是有限个 $\bar{k}$ 的乘积. 这首先推出 $A$ 在 $k$ 上有限. 由 Artin 环结构定理, $A$ 是有限个 $k$ 上有限局部环的乘积. 逐一讨论可设 $A$ 为局部. 现由 $A{\otimes }_k\bar{k}$ 既约便知 $A$ 是 $k$ 的可分扩张.

$\square$

命题 2.4 (过渡到极限). 设 $\{R_i\to A_i{\}}_{i\in I}$ 是有限型同态的滤相系, 满足对 $i<j$, $A_j=A_i{\otimes }_{R_i}{R}_j$. 记 $R={\mathrm{colim}}_i{R}_i$, $A={\mathrm{colim}}_i{A}_i$.

•	如每个 $R_i\to A_i$ 非分歧, 则 $R\to A$ 非分歧.
•	如 $R\to A$ 非分歧, 则存在 $i\in I$ 使得 $R_i\to A_i$ 非分歧.

证明. 前一条显然, 因为滤余极限和基变换交换, $R\to A$ 是 $R_i\to A_i$ 的基变换. 至于后一条, 先由有限型取 $j\in I$, 以及 $a_1,\dots ,a_n$ 在 $R_j$ 上生成 $A_j$. 由于微分模和滤余极限交换, $$0={\Omega }_{A/R}=\underset{i\in I}{\mathrm{colim}}{\Omega }_{A_i/R_i},$$存在 $i>j$ 使得 $\mathrm{d}{a}_1,\dots ,\mathrm{d}{a}_n$ 在 ${\Omega }_{A_i/R_i}$ 都是 $0$. 此 $i$ 即为所求.

$\square$

可用 Zariski 主定理给出非分歧代数的局部结构. 依平展同态条目的术语, 下面的定理就是说, 非分歧代数局部上都是标准平展代数的商.

定理 2.5 (局部结构定理). $R\to A$ 是非分歧同态. 则对任意 $\mathfrak{q}\in \mathrm{Spec}A$, 存在 $a\notin \mathfrak{q}$ 使得 $A_a$ 是 $(R[x]/f{)}_g$ 的商环, 其中 $f,g\in R[x]$ 满足 $f$ 首一, $f^{\prime }\mid g$.

证明.

证明. 写出 $A=P/J$, $P$ 是 $R$ 上有限个变元的多项式环. 则由微分模的右半正合列$$J/J^2\to {\Omega }_{P/R}{\otimes }_{P}A\to {\Omega }_{A/R}\to 0$$知 ${\Omega }_{A/R}=0$ 等价于 ${\Omega }_{P/R}$ 作为 $P$-模被 $J$ 中元素的微分和 $J{\Omega }_{P/R}$ 合起来生成. 由于 ${\Omega }_{P/R}$ 有限生成, 存在 $J_0\subseteq J$ 有限生成, 使得 ${\Omega }_{P/R}$ 作为 $P$-模被 $J_0$ 中元素的微分和 $J_0{\Omega }_{P/R}$ 合起来生成. 于是把 $J$ 换成 $J_0$ 不影响条件. 故可设 $A$ 有限表现. 这样 $R\to A$ 就是 $\mathbb{Z}$ 上有限型环的同态的滤余极限, 于是由过渡到极限可设 $R$ 和 $A$ 为 $\mathbb{Z}$ 上有限型, 特别地 Noether.

记 $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$, $k=k(\mathfrak{p})$. 非分歧同态为拟有限, 故由 Zariski 主定理, $A$ 有有限 $R$-子代数 $B$, 满足 $B\to A$ 在谱上为开浸入. 于是存在 $b\in B$, 使得 $b\notin \mathfrak{q}$ 且 $B_b=A_b$. 把 $A$ 换成 $A_b$, 可设 $B_b=A$. 现在 $B{\otimes }_{R}k$ 为有限 $k$-代数, 局部化 $b$ 之后为非分歧, 为有限可分扩张的乘积, 且 $k(\mathfrak{q})$ 是其一个乘积分量. 用本原元定理取元素 $\bar{u}\in B{\otimes }_{R}k$, 在 $k(\mathfrak{q})$ 分量上是其本原元, 在其它分量上是 $0$. 乘以 $R\setminus \mathfrak{p}$ 中元素, 可设 $\bar{u}$ 来自 $u\in B$. 于是 $R[u]$ 是有限 $R$-代数, 满足 $R[u]{\otimes }_{R}k=k[\bar{u}]=k(\mathfrak{q})$.

设 $\bar{f}$ 是 $\bar{u}$ 在 $k$ 上极小多项式, 次数为 $n=[k(\mathfrak{q}):k]$. 由于 $1,\bar{u},\dots ,{\bar{u}}^{n-1}$ 是 $k(\mathfrak{q})$ 作为 $k$-线性空间的生成元, 由 Nakayama 引理, $1,u,\dots ,u^{n-1}$ 是 $R_{\mathfrak{p}}[u]$ 作为 $R_{\mathfrak{p}}$-模的生成元. 于是可设 $r\notin \mathfrak{p}$ 满足 $1,u\dots ,u^{n-1}$ 是 $R_r[u]$ 作为 $R_r$-模的生成元. 这样就存在 $n$ 次首一多项式 $f\in R_r[x]$ 满足 $f(a)=0$, 且 $f$ 在 $k[x]$ 的像就是 $\bar{f}$. 把 $u$ 换成 $r^{-N}u$, $N$ 充分大, 可设 $f\in R[x]$, 且在 $R[u]$ 中有 $f(u)=0$. 由于 $k(\mathfrak{q})/k$ 可分, ${\bar{f}}^{\prime }(\bar{u})\ne 0$, 将 $A$ 对 $f^{\prime }(u)$ 局部化, 可设 $f^{\prime }(u)\in A^{\times }$.

记 ${\mathfrak{q}}^{\prime }=\mathfrak{q}\cap R[u]$. 考虑含入映射 $R[u]\to B$ 在 ${\mathfrak{q}}^{\prime }$ 的局部化. 它有限, 因为 $R\to B$ 有限; 它是单射, 因为局部化保持单射; 它是满射, 因为依定义 $u\notin {\mathfrak{q}}^{\prime }$, 故 $B_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}/{\mathfrak{q}}^{\prime }{B}_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}$ 被 $(B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}{B}_{\mathfrak{p}}{)}_u=k(\mathfrak{q})$ 打满, 从而 $k({\mathfrak{q}}^{\prime })=k(\mathfrak{q})=B_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}/{\mathfrak{q}}^{\prime }{B}_{{\mathfrak{q}}^{\prime }}$, 于是由 Nakayama 引理知满. 这样就知道 $R[u]\to B$ 在 ${\mathfrak{q}}^{\prime }$ 的局部化是同构. 由这些代数都是 Noether 环上有限, 可取 $v\notin {\mathfrak{q}}^{\prime }$ 使得 $R[u{]}_v=B_v$. 再局部化 $A$, 可设存在 $w\in R[u]\setminus {\mathfrak{q}}^{\prime }$ 使得 $A=R[u{]}_w$. 换言之, 可设 $B=R[u]$. 回忆 $A=B_b$. 取 $b$ 沿 $R[x]/f\twoheadrightarrow R[u]=B$ 的原像 $g$. 由于 $f^{\prime }(u)\in A^{\times }$, 可设 $f^{\prime }\mid g$. 此时自然同态 $(R[x]/f{)}_g\twoheadrightarrow R[u{]}_b=B_b=A$ 即为所求.

$\square$

以下是 Grothendieck 对非分歧的刻画. 此类命题显示了幂零理想在交换代数和代数几何中不可或缺. 事实上, 幂零理想是 “形变” 的代数对应物.

定理 2.6. 非分歧等价于有限型且形式非分歧. 详细地说, 环同态 $R\to A$ 非分歧, 当且仅当其有限生成, 且对任意环 $S$ 及其理想 $I$ 满足 $I^2=0$ 以及图表$$RSAS/I$$使其交换的虚线箭头至多一个.

证明. 这是因为形式非分歧等价于微分模为零.

$\square$

3例子

•	环满射都非分歧.
•	平展同态都非分歧. 特别地, 局部化一个元素为非分歧.
•	代数数论中, 数域的扩张 $K\subseteq L$ 在 $\mathfrak{P}\in \mathrm{Spec}({\mathcal{O}}_L)$ 处非分歧, 当且仅当 ${\mathcal{O}}_{K,\mathfrak{p}}\to {\mathcal{O}}_{L,\mathfrak{P}}$ 非分歧, 其中 $\mathfrak{p}=\mathfrak{P}\cap {\mathcal{O}}_K$. 当然, 此扩张由于平坦, 实际上为平展. 这可以具体计算微分模看出. 事实上代数数论中的差分理想就是微分模的零化子.

4相关概念

•	非分歧态射
•	形式非分歧
•	余切复形

术语翻译

非分歧同态 • 英文 unramified homomorphism • 德文 unverzweigter Homomorphismus • 法文 homomorphisme non-ramifié