有限同态

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

交换代数中, 有限同态是一类环同态, 推广了域的有限扩张概念.

1定义

定义 1.1. 环同态 $A\to B$ 称为有限同态, 指 $B$ 作为 $A$-模有限生成.

2例子

•	环满射是有限同态.
•	域的有限扩张是有限同态.
•	有限环之间的同态是有限同态.
•	$L$ 是数域, ${\mathcal{O}}_L$ 为其整数环. 则 $\mathbb{Z}\to {\mathcal{O}}_L$ 为有限同态. 一般地, 对 Dedekind 环 $A$, $A$ 的分式域 $K$ 的有限可分扩张 $L$, $A$ 在 $L$ 中的整闭包 $B$, $A\to B$ 为有限同态.
•	$\mathbb{Z}\to \mathbb{Q}$ 不是有限同态. 一般地, 局部化通常不是有限同态.

3性质

命题 3.1 (在基变换下保持). $A\to B$ 是有限同态, $A\to A^{\prime }$ 是环同态, 令 $B^{\prime }=B{\otimes }_A{A}^{\prime }$. 则 $A^{\prime }\to B^{\prime }$ 是有限同态.

证明. 一般地, 如 $M$ 是有限生成 $A$-模, 被 $m_1,\dots ,m_n$ 生成, 那么 $M^{\prime }=M{\otimes }_A{A}^{\prime }$ 是有限生成 $A^{\prime }$-模, 也被 $m_1,\dots ,m_n$ 生成.

$\square$

命题 3.2. $A\to B\to C$ 是环同态. 如果复合映射 $A\to C$ 有限, 则 $B\to C$ 亦然.

证明. 显然.

$\square$

命题 3.3 (传递性). 有限同态的复合是有限同态.

证明. 设 $A\to B$, $B\to C$ 是有限同态, $b_1,\dots ,b_n$ 是 $B$ 作为 $A$-模的一组生成元, $c_1,\dots ,c_m$ 是 $C$ 作为 $B$-模的一组生成元. 则不难发现 $\{b_i{c}_j{\}}_{i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,m}$ 是 $C$ 作为 $A$-模的一组生成元. 于是 $A\to C$ 是有限同态.

$\square$

命题 3.4. 环同态有限当且仅当其有限生成且整.

所以整同态与有限同态差不太多. 事实上有限同态的很多性质对于整同态成立, 这些性质的陈述、证明都参见整同态.

命题 3.5. 如环同态 $A\to B$ 有限且有限表现, 则 $B$ 作为 $A$-模有限表现.

4相关概念

•	有限扩张
•	有限态射

术语翻译

有限同态 • 英文 finite homomorphism • 德文 endlicher Homomorphismus • 法文 homomorphisme fini • 拉丁文 homomorphismus finitus • 古希腊文 πεπερασμένος ὁμομορφισμός