局部化

Disambiguate.png

本文介绍的是的局部化. 关于其它含义, 请参见 “局部化 (多义词)”.

约定. 在本文中,

局部化交换代数中的常见操作, 它把里一些元素变得可逆, 是分式域概念的推广. 在代数几何的观点下, 局部化所得的环是原来的环的某些 “局部”, 其自然地是原来环的谱的子集. 既然如此, 局部化的环通常会变得更简单. 我们也常常通过研究环的各个局部化来研究环本身.

1定义

环的局部化

交换环 及其乘性子集 而言, 局部化 就是在 中把 的元素都变得可逆, 所得的环.

定义 1.1 (局部化). 交换环 乘性子集 局部化是环 , 带有环同态 , 它把 中元素映射到可逆元, 并且是所有这样的环同态中初始者. 换言之, 其满足如下万有性质: 对任意环同态 , 如果 , 就存在唯一映射 使得如下图表交换:

以上定义的局部化可以具体构造出来. 定义环其中 的加法、乘法定义为其零元、幺元分别为 . 自然映射 . 不难验证其满足以上泛性质. 不引起歧义时, 也以 表示 , 这样 也就是 .

定义 1.2 (常用记号). 在上述定义中,

是一个元素 生成的乘性子集时, 局部化 也记作称作 局部化.

素理想 补集时, 也记作 , 称作 处局部化 局部化.

注意此记号与表示 进数 略有冲突, 故 对一个整数 局部化只写作 .

模的局部化

局部化一个环时, 其上的也可作局部化.

定义 1.3 (模局部化). 记号同上, 设 -模. 定义 -模其中 的加法、数乘有显然的描述. 熟悉张量积者不难验证 .

在定义 1.2 的情形下, 也常用 表示相应的模局部化.

2性质

商环类似, 局部化里的理想是原来环中理想的一部分:

命题 2.1. 是环, 是其乘性子集. 则 , 给出 中与 无交的理想与 中真理想的一一对应, 素理想对应于素理想. 于是 自然成为 的子集.

在以上对应下, 局部化和取商交换:

命题 2.2. 是环, 是其乘性子集, 是其理想, 满足 . 则有自然同构 , 其中 中的像.

证明. 二者都是从 出发, 把 打到可逆元, 把 打到 的环同态中初始者.

在素理想处局部化会得到局部环:

命题 2.3. 是环, 是其素理想. 则 是局部环, 极大理想为 .

模局部化是正合函子:

命题 2.4. 保持余极限且正合. 如 平坦 -模, 则 是平坦 -模, 也是平坦 -模.

证明. 无非就是 , 自然保持余极限. 至于正合, 只需证明 是平坦 -模, 故我们直接证后一句话. 注意其中余极限的指标范畴对象集为 , , 然后图表每一项都是 , 对应的映射就是 “乘以 ”. 于是 就是平坦 -模的余极限, 也是平坦 -模. 最后, 由于对 -模 , , 有 , 故一个 -模平坦和它作为 -模平坦是一回事.

上面证明了模的平坦性在局部化下保持. 此外, 还有很多性质在局部化下保持:

整环的局部化是整环.

Noether 环的局部化是 Noether 环.

唯一分解整环的局部化是唯一分解整环.

Dedekind 整环的局部化是 Dedekind 整环.

正则环的局部化是正则环.

……

还有一些性质, 它对一个环成立, 当且仅当对其在每个素理想或每个极大理想处的局部化成立. 此类性质多如繁星, 不胜枚举. 在此仅叙述几条基本的, 余参见主条目局部性质. 由此可见, 局部化是研究环的重要手段.

命题 2.5. 是环, -模, 以下几条等价:

1.

.

2.

的任一素理想 , .

3.

的任一极大理想 , .

从而如 -模同态, 则它单 (满) 当且仅当它在各个素理想或极大理想处局部化为单 (满).

证明. 1 推 2 推 3 为显然. 如 , 取非零元 , 并取极大理想 . 依定义立知 .

至于最后一句话, 由于局部化是正合函子, 保持核与余核, 对 应用刚才所证, 即得结论.

3例子

整环的分式域是一种局部化, 无非是取 .

一般地, 取 中所有非零因子的集合, 所得局部化 称为 完全分式环.

局部化未必是单射, 最简单的例子是 .

拓扑空间 , 考虑其复值连续函数环 . 对点 , 定义这是 的极大理想, 剩余域. 其局部化可描述如下: 其中该局部化称为 处的函数芽环, 可记作 . 这解释了 “局部化” 一词的几何直观, 即在一点局部化所得之环, 只有该点的局部信息.

4与范畴局部化的关系

代数–范畴对应的观点下, 环局部化是一种范畴局部化.

命题 4.1. 是环, 是其乘性子集. 则有范畴等价其中左边的 指的是所有形如 “乘以 ”, 的模自同态在态射范畴中沿余极限生成的那些同态.

5相关概念

局部化 (范畴论)

局部性质

术语翻译

局部化 (动词)英文 localize英式英文 localise德文 lokalisieren法文 localiser拉丁文 localizo古希腊文 ἑντοπίζω

局部化 (名词)英文 localization英式英文 localisation德文 Lokalisierung (f)法文 localisation (f)拉丁文 localizatio (f)古希腊文 ἑντοπισμός (m)