拓扑空间

拓扑空间是一种结构, 是描述空间的概念的一种方法. 拓扑空间可以想象成一个形状, 我们只关心该形状被连续形变所保持的性质, 而不关心该图形具体的样子. 例如, 咖啡杯的表面可以通过连续形变, 变成一个圆环面, 因而这两个表面被视作相同的 (确切地说, 同胚的) 拓扑空间.

拓扑空间是基于开集的概念而定义的. 开集是实数开区间的推广, 指满足以下性质的集合: 它的每个点都在它的内部, 也就是说, 从那个点的视角看, 与它离得足够近的所有点都在该开集内. 例如, 闭区间因为有端点而不满足这个性质.

拓扑空间是度量空间的推广. 在度量空间中, 通过点与点间的距离来确定其位置关系. 而在拓扑空间中, 则不需要给出明确的距离值, 也能描述空间的性质.

拓扑空间在数学中有广泛的应用. 在几何学拓扑学中, 我们使用的多数空间都基于拓扑空间而定义. 在分析学中, 拓扑向量空间及其衍生概念是重要的工具.

1定义

拓扑空间

定义 1.1 (拓扑空间、开集). 拓扑空间是二元组 , 其中

集合.

是由 的一些子集构成的集合, 这些子集称为开集. 我们也把 叫做 上的拓扑.

它们满足如下性质:

有限个开集的仍是开集.

任意多个开集的仍是开集.

在无歧义时, 也直接称 拓扑空间.

注 1.2. 在拓扑空间 中,

因为 自身是 个开集的交, 所以 是开集.

因为 个开集的并, 所以 是开集.

定义 1.3 (闭集). 在拓扑空间 中, 子集 称为闭集, 当且仅当 是开集.

连续映射

连续映射是拓扑空间之间自然的映射的概念.

定义 1.4 (连续映射). 拓扑空间 之间的连续映射是指集合间映射 , 满足以下条件:

的每个开集的原像 中的开集.

定义 1.5 (拓扑空间范畴). 所有拓扑空间以及它们之间的连续映射构成一个范畴, 称为拓扑空间范畴, 记作 .

定义 1.6 (同胚). 同胚是指拓扑空间范畴 (定义 1.5) 中的同构.

具体地说, 拓扑空间之间的连续映射 称为同胚, 如果存在连续映射 , 使得复合映射 以及 均为恒等映射.

如果这样的同胚映射存在, 就说 同胚.

2例子

空集 单点集 各自具有唯一的拓扑空间结构, 称为空空间单点空间. 它们分别是拓扑空间范畴始对象终对象.

给定集合 .

若令 自身及 为仅有的开集, 则得到拓扑空间, 称为 上的平凡拓扑. 这是 上最的拓扑.

若令 的所有子集都为开集, 则得到拓扑空间, 称为 上的离散拓扑. 这是 上最的拓扑.

令子集 为开集当且仅当 有限集. 则得到拓扑空间, 称为 上的余有限拓扑.

3相关概念

意象

流形

术语翻译

拓扑空间英文 topological space德文 topologischer Raum法文 espace topologique拉丁文 spatium topologicum古希腊文 τοπολογικὸς χῶρος日文 位相空間