内部

拓扑空间 $X$ 的子空间 $A$ 的内部是指 $A$ 所包含的最大开集, 常记为 $A^{\circ }$. 这里所说的开集是指作为 $X$ 的子集为开集的集合.

例如, 闭区间 $[0,1]$ 在 $\mathbb{R}$ 中的内部是开区间 $]0,1[$. 然而, 若将 $[0,1]$ 视为平面 ${\mathbb{R}}^2$ 中 $x$ 轴的子集, 则其内部将变为空集, 因为它不包含 ${\mathbb{R}}^2$ 中的任何开集.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 为拓扑空间, $A$ 为其子空间. 则 $A$ 在 $X$ 中的内部是指 $X$ 中所有包含于 $A$ 的开集的并.

$A$ 在 $X$ 中的内部通常记为 $A^{\circ }$, ${\mathrm{int}}_{X}A$, 或 $\mathrm{int}A$.

2性质

•	对子空间 $A\subset X$, 有 ∘ $(A^{\circ }{)}^{\circ }=A^{\circ }$. ∘ $A$ 在 $X$ 中是开集, 当且仅当 $A=A^{\circ }$.

3相关概念

•	边界
•	闭包

术语翻译

内部 • 英文 interior • 法文 intérieur (m) • 拉丁文 interior (f) • 古希腊文 ἐσώτερον (n)