开集

开集拓扑空间中的一种基本的概念. 开集是实数开区间的推广, 指拓扑空间中满足以下性质的集合: 它的每个点都在它的内部, 也就是说, 从那个点的视角看, 与它离得足够近的所有点都在该开集内. 例如, 闭区间因为有端点而不满足这个性质.

1定义

Euclid 空间中的开集

定义 1.1 (Euclid 空间中的开集).. 集合 称为开集, 如果它满足以下条件:

对任意 , 存在实数 , 使得开球包含于 .

这些开集定义了 上的一个拓扑, 称为 Euclid 拓扑.

例 1.2 ( 中的开集). 中的开集一定是至多可数开区间无交并.

证明. 我们先证明 连通集一定是区间. 设 中一个连通集但不是区间, 则存在 . 于是 , , 这与 的连通性矛盾, 于是得证.

中的开集一定是它所有连通分支的无交并. 于是, 设 中一开集, , 其中 的连通分支, 它一定是区间. 我们来证明 都是开区间. 设 不是开区间, 不妨设 的最小值, 含有最大值的情况同此可证. 由于 是开集, 存在开球 , 显然 也是一个区间, 是 的一个连通子集; 而它真包含 , 这和 的连通分支矛盾. 于是 均是开区间.

由于 稠密, 对于所有 , 可以取 , 而且对于 , 一定有 . 我们就构造了 的单射, 于是 , 即开区间的个数为至多可数.

度量空间中的开集

定义 1.3 (度量空间中的开集).度量空间. 集合 称为开集, 如果它满足以下条件:

对任意 , 存在实数 , 使得开球包含于 , 其中 上的距离函数.

这些开集定义了 上的一个拓扑, 称为由 的度量所诱导的拓扑.

定义 1.1 就是取度量空间为 , 度量为 的情形.

拓扑空间中的开集

拓扑空间中, 开集是拓扑空间的定义的一部分. 开集指的是一族满足以下公理的子集:

有限个开集的交是开集.

任意多个开集的并是开集.

2相关概念

开集范畴

术语翻译

开集英文 open set德文 offene Menge (f)法文 ensemble ouvert (m)拉丁文 copia aperta古希腊文 ἀνοικτὸν σύνολον (n)

(形容词)英文 open德文 offen法文 ouvert拉丁文 apertus古希腊文 ἀνοικτός