极不连通空间

极不连通空间是比完全不连通空间更加不连通的一类拓扑空间. 紧的极不连通空间是紧 Hausdorff 空间范畴的投射对象, 在 Stone 对偶下对应于完备 Boole 代数.

1定义

定义 1.1. 称拓扑空间 $X$ 为极不连通空间, 意思是 $X$ Hausdorff, 且 $X$ 中开集的闭包仍是开集. 也称紧的极不连通空间为极不连通集.

2性质

命题 2.1. 设 $X$ 是极不连通空间, $U,V$ 是其不交开子集. 则 $\overline{U},\overline{V}$ 也不交. 特别地, 极不连通空间完全不连通.

证明. 由开性自然有 $\overline{U}$ 和 $V$ 不交. 由极不连通, $\overline{U}$ 也开, 所以 $\overline{U}$ 和 $\overline{V}$ 不交.

现用反证法证 $X$ 完全不连通. 反设相异两点 $u,v\in X$ 处于一个连通分支, 并取不交邻域 $U,V$. 令 $W=X\setminus \overline{U}$, 则它是包含 $V$ 的开集, 而且 $\overline{U}\cup \overline{W}=X$. 于是闭集 $\overline{U}$ 和 $\overline{W}$ 在 $u,v$ 所处的连通分支内有交, 与上一段矛盾.

$\square$

引理 2.2. 设 $f:Y\to X$ 是拓扑空间的连续满射, 满足对任意闭子集 $T⫋Y$ 都有 $f(T)⫋X$. 则对任意开子集 $U\subseteq Y$ 都有 $f(U)\subseteq \overline{X\setminus f(Y\setminus U)}$.

证明. 取 $x\in f(U)$ 并取其邻域 $W$, 我们来证明 $W$ 与 $X\setminus f(Y\setminus U)$ 有交. 注意 $V=U\cap f^{-1}(W)$ 是 $Y$ 中非空开集, 故由条件 $X\setminus f(Y\setminus V)$ 非空. 它一方面包含于 $W$, 因为 $V\subseteq f^{-1}(W)$; 另一方面又包含于 $X\setminus f(Y\setminus U)$, 因为 $V\subseteq U$. 所以 $W$ 与 $X\setminus f(Y\setminus U)$ 有交, 引理得证.

$\square$

引理 2.3. 设 $f:Y\to X$ 是紧 Hausdorff 空间的连续满射, 且 $X$ 极不连通. 又设对任意闭子集 $T⫋Y$ 都有 $f(T)⫋X$. 则 $f$ 是同胚.

证明. 由于紧 Hausdorff 空间之间的连续双射是同胚, 只需证 $f$ 是单射. 反设相异两点 $u,v\in Y$ 满足 $f(u)=f(v)=x$, 并取不交邻域 $U\ni u$, $V\ni v$. 则由紧 Hausdorff 以及条件, $Z=f(Y\setminus U)$, $W=f(Y\setminus V)$ 都是 $X$ 中闭的真子集, 且由 $U,V$ 不交知 $Z\cup W=X$. 于是由命题 2.1, $\overline{X\setminus Z}$ 和 $\overline{X\setminus W}$ 不交; 又由引理 2.2, $x\in f(U)\subseteq \overline{X\setminus Z}$, $x\in f(V)\subseteq \overline{X\setminus W}$, 矛盾! 引理得证.

$\square$

以下投射性最为重要.

定理 2.4. 设 $X$ 是紧 Hausdorff 空间. 以下几条等价:

1.	$X$ 极不连通.
2.	对任意紧 Hausdorff 空间 $Y$ 以及连续满射 $f:Y\to X$, $f$ 都有截面, 即存在连续映射 $s:X\to Y$, $f\circ s={\mathrm{id}}_X$.
3.	对紧 Hausdorff 空间的任意连续满射 $g:W\to Z$ 以及连续映射 $t:X\to Z$, $t$ 都能提升到 $W$, 即存在连续映射 $\tilde{t}:X\to W$, $g\circ \tilde{t}=t$.

证明.

3 推 2	取 $Z=X$, $t={\mathrm{id}}_X$ 即可.
2 推 3	取 $Y=W{\times }_{Z}X$, $f=g{\times }_{Z}X$ 即可.
2 推 1	设 $U$ 是 $X$ 的开集. 则自然映射 $f:\overline{U}\bigsqcup (X\setminus U)\to X$ 是满射. 取其截面 $s$, 则 $\overline{U}=s^{-1}(\overline{U})$ 是开集. 所以 $X$ 极不连通.
1 推 2	设 $Y$ 是紧 Hausdorff 空间, $f:Y\to X$ 是连续满射. 由紧性, 可用 Zorn 引理取出极小的闭子集 $E\subseteq Y$ 满足 $f(E)=X$. 于是 $f{|}_E$ 满足引理 2.3 的条件, 故它是同胚. 这样它的逆就是所求的截面.

$\square$

由命题 2.1, 紧的极不连通空间是 Stone 空间. 下面描述它在 Stone 对偶下的对应物.

定理 2.5. 紧的极不连通空间在 Stone 对偶下对应于完备 Boole 代数.

证明. 先证极不连通空间的 Stone 对偶完备. 由 Stone 对偶的定义, 这相当于证明对任一族开闭集 $\{A_i{\}}_{i\in I}$, 都存在开闭集 $A$ 包含每个 $A_i$, 使得只要开闭集 $B$ 包含每个 $A_i$, 它就包含 $A$. 由极不连通空间的定义, 取 $A=\overline{{\bigcup }_{i\in I}{A}_i}$ 即满足要求.

再证完备 Boole 代数的对偶极不连通. 任取其开集 $U$, 由于 Stone 空间的开闭集构成拓扑基, $U$ 是一些开闭集 $\{A_i{\}}_{i\in I}$ 的并. 由完备性, 存在开闭集 $A$, 是各 $A_i$ 的上确界, 只需证 $A=\overline{U}$. 这是因为如果 $A\setminus \overline{U}$ 非空, 取其中非空开闭子集 $B$, $A\setminus B$ 就会是各 $A_i$ 的更小上界, 与 $A$ 是上确界矛盾.

$\square$

注 2.6. 定理 2.5 能给出很多极不连通空间的例子, 因为写出完备 Boole 代数通常比写出极不连通空间容易得多. 比如幂集 Boole 代数 $\mathcal{P}(X)$ 的 Stone 对偶就是 $X$ 视为离散空间的 Stone–Cech 紧化, 是个极不连通空间.

3相关概念

•	完全不连通空间
•	Stone 对偶
•	凝聚态集

术语翻译

极不连通空间 • 英文 extremally disconnected space • 法文 espace extrêmement discontinu • 拉丁文 spatium extreme discontinuum