Hausdorff 空间

Hausdorff 空间 (又称为分离空间 空间) 是一类拓扑空间, 其中任两点都有不相交的邻域 (即能被开集分离).

Hausdorff 空间避免了拓扑空间中一些 “坏的性质”. 例如, 在 Hausdorff 空间中, 收敛是唯一的: 如果一个序列 (或更一般地, 滤子) 同时收敛到该空间中两个点, 那么这两个点相同 (命题 3.2).

1定义

定义 1.1 (Hausdorff 空间). 拓扑空间 称为 Hausdorff 空间, 如果对任意 , 如果 , 那么存在开集 , 使得 , , 且 .

2例子

任何度量空间都是 Hausdorff 空间.

任何 CW 复形都是 Hausdorff 空间.

具有无限个点的代数簇Zariski 拓扑下不是 Hausdorff 空间.

3性质

等价刻画

命题 3.1. 拓扑空间 是 Hausdorff 空间, 当且仅当对角线是闭子集.

证明.乘积拓扑的定义, 的一组开集基形如 . 所以 闭也就等价于, 对任意 , 存在 开, 使得 . 这无非就是说 , , , 即 Hausdorff 空间的定义.

命题 3.2. 拓扑空间 是 Hausdorff 空间, 当且仅当 滤子的极限如果存在则唯一, 当且仅当 的极限如果存在则唯一.

证明. 见条目滤子.

与紧空间的联系

命题 3.3. Hausdorff 空间紧子集闭.

证明. 为 Hausdorff 空间, 紧, 要证明 闭, 即需要证明对任意 , 存在开集 , . 由 Hausdorff, 对任意 , 存在开集 , , . 的开覆盖, 由 紧, 存在有限子覆盖 . 取 , 则 为开集, .

推论 3.4. 紧空间到 Hausdorff 空间的连续双射是同胚.

证明. 由 “紧集的闭子集紧”、“紧集在连续映射下像集紧” 以及以上命题, 即可得到此连续双射为闭映射, 从而是同胚.

4相关概念

分离公理

分离态射

术语翻译

Hausdorff 空间英文 Hausdorff space德文 Hausdorff-Raum法文 espace de Hausdorff拉丁文 spatium Hausdorff

分离空间英文 separated space德文 separierter Raum法文 espace séparé拉丁文 spatium separatum