连通空间

拓扑学中, 连通空间是指不能被 “一分为二” 的拓扑空间. 例如, 下图中左侧的方块是连通的, 右侧的两个圆盘 (作为一个空间) 是不连通的.

组成拓扑空间的每个连通的部分称为连通分支. 每个拓扑空间都是其连通分支的并, 但不一定同胚于它们的无交并.

1定义

连通空间

定义 1.1 (连通空间). 拓扑空间 称为连通空间, 如果下列条件成立:

如果开集 满足 , 那么 中恰好一个是空集.

定义 1.1 中的条件也等价于以下任意一条:

恰有两个既开又闭的子集: 自身.

如果 同胚于两个拓扑空间 不交并, 那么 中恰有一个是空集.

注 1.2. 定义 1.1 表明, 空空间不是连通空间. 这是平凡对象不是单对象的一个例子.

连通分支

定义 1.3 (连通分支). 是拓扑空间. 在 上定义等价关系 如下:

当且仅当存在连通的子空间 (定义 1.1), 使得 .

该等价关系的每个等价类称为 的一个连通分支.

连通分支一定是闭集, 但不一定是开集. 例如, 考虑有理数, 带有其通常拓扑, 即序拓扑. 则 的连通分支都是单点集. 这也说明, 一个空间不一定同胚于其连通分支的无交并.

2性质

基本性质

连通空间在连续映射下的也是连通空间.

拓扑空间 的连通分支都是 中的闭集.

3相关概念

术语翻译

连通空间英文 connected space德文 zusammenhängender Raum (m)法文 espace connexe (m)日文 連結空間 (れんけつくうかん)韩文 연결 공간 (連結空間)

连通分支英文 connected component德文 zusammenhängende Komponente (f)法文 composante connexe (f)日文 連結成分 (れんけつせいぶん)韩文 연결 성분 (連結成分)