分离公理

关于集合论中的公理, 请参见 “分出公理模式”.

分离公理是对拓扑空间的一系列限制条件, 形象地说, 通常是关于两个点或闭集之间能否用邻域, 连续函数等分离的性质. 这里分离两个集合的意思是指其中一集合和另一集合的闭包无交. 满足分离公理的拓扑空间会有某些良好的性质.

1定义

定义 1.1 (分离公理). 对拓扑空间 $X$ 而言, 以下的条件都被称为分离公理:

•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_0$ 空间或 Kolmogorov 空间, 如果它的任两点都是可区分的, 即存在一个开集, 包含其中一个点, 而不包含另一个.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_1$ 空间, 如果它的单点子集都是闭集.
•	$X$ 称为 Hausdorff 空间, 或 ${\mathrm{T}}_2$ 空间, 如果它的任两点都有不交的邻域.
•	$X$ 称为正则空间, 如果它的任一闭集和其外一点都有不交的邻域.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_3$ 空间, 如果它是正则 Hausdorff 空间.
•	$X$ 称为完全正则空间, 如果它的任一闭集和其外一点都能被连续函数所分离.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_{3\frac{1}{2}}$ 空间, 如果它是完全正则 Hausdorff 空间.
•	$X$ 称为正规空间, 如果它的任两个不交闭集都有不交的邻域.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_4$ 空间, 如果它是正规 Hausdorff 空间.
•	$X$ 称为完全正规空间, 如果它的任何子空间都是正规空间.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_5$ 空间, 如果它是完全正规 Hausdorff 空间.
•	$X$ 称为完美正规空间, 如果它的任两个不交闭集都能写成一个连续函数下 $0$ 和 $1$ 的原像.
•	$X$ 称为 ${\mathrm{T}}_6$ 空间, 如果它是完美正规 Hausdorff 空间.

2分离空间的性质

继承性和乘性

我们说某一拓扑空间的性质具有继承性, 意思是说具有该性质的拓扑空间的子空间也具有此性质. 而一个拓扑空间的性质具有乘性, 意思是两个具有该性质的拓扑空间的积空间也具有该性质.

分离公理中, ${\mathrm{T}}_0$、${\mathrm{T}}_1$、${\mathrm{T}}_2$、${\mathrm{T}}_3$、${\mathrm{T}}_{3\frac{1}{2}}$、${\mathrm{T}}_5$ 都为继承, 而 ${\mathrm{T}}_4$ 不是.

而 ${\mathrm{T}}_0$、${\mathrm{T}}_1$、${\mathrm{T}}_2$、${\mathrm{T}}_3$、${\mathrm{T}}_{3\frac{1}{2}}$ 都为乘性, 甚至被任意乘积保持, 而 ${\mathrm{T}}_4$、${\mathrm{T}}_5$ 则不然.

术语翻译

分离公理 • 英文 separation axiom • 德文 Trennungsaxiom (n) • 法文 axiome de séparation (m) • 拉丁文 axioma de separatione (n)