积空间

一族拓扑空间的积空间是指其 Descartes 积, 自然地视为拓扑空间.

1定义

定义 1.1 (积空间). 设 $I$ 是集合, $(X_i{)}_{i\in I}$ 是一族拓扑空间. 考虑集合的 Descartes 积$$X=\prod _{i\in I}{X}_i,$$并在 $X$ 上定义以下拓扑, 称为积拓扑:

•	形如 ${\prod }_{i\in I}{U}_i$ 的集合构成 $X$ 的一组拓扑基, 其中每个 $U_i\subset X_i$ 是开集, 且除有限个 $i$ 以外, 均有 $U_i=X_i$.

积拓扑使得 $X$ 成为拓扑空间, 称为 $(X_i{)}_{i\in I}$ 的积空间, 记为$$\prod _{i\in I}{X}_i.$$有限个空间 $X_1,\dots ,X_n$ 的积空间也可记为 $X_1\times \cdots \times X_n$.

这里, 积拓扑是 $X$ 上使得所有投影 $X\to X_i$ 都连续的最粗的拓扑.

注 1.2. 在定义 1.1 中, 若不要求 “除有限个 $i$ 以外, 均有 $U_i=X_i$”, 则得到 $X$ 上更细的拓扑, 称为方盒拓扑, 因为其中所有 “方盒” ${\prod }_{i\in I}{U}_i$ 都是开集. 当然, 在 $I$ 有限时, 这与积拓扑没有区别, 但当 $I$ 无限时, 积拓扑才是积空间上最自然的拓扑.

2性质

基本性质

•	$0$ 个空间的积空间是单点空间. $1$ 个空间的积空间是其自身.

•	积空间是拓扑空间范畴中的积.

术语翻译

积空间 • 英文 product space • 德文 Produktraum (m) • 法文 espace produit (m)

积拓扑 • 英文 product topology • 德文 Produkttopologie (f) • 法文 topologie produit (f)