Descartes 积

Descartes 积是集合的乘积. 一族集合 $\{X_i\mid i\in I\}$ 的 Descartes 积 (不致混淆时也简称 “积”) 是所有多元组 $(x_i{)}_{i\in I},x_i\in X_i$ 构成的集合.

特别地, 二元 Descartes 积是所有相应有序对构成的集合.

从范畴论的观点看, Descartes 积是集合范畴中的积.

1定义

集合的 Descartes 积

定义 1.1. 集合 $X$ 和 $Y$ 的 Descartes 积是$$X\times Y=\left\{(x,y)|x\in X,y\in Y\right\},$$其中 $(x,y)$ 表示有序对. 在集合论中, 有序对被定义为$$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}.$$

定义 1.2. 一族集合 $\left\{X_i|i\in I\right\}$ 的 Descartes 积是$$\prod _{i\in I}{X}_i=\left\{(x_i{)}_{i\in I}|x_i\in X_i\right\},$$其中 $(x_i{)}_{i\in I}$ 表示一族元素. 在集合论中, 可以将其定义为$$\prod _{i\in I}{X}_i=\left\{f:I\to \bigcup _{i\in I}{X}_i|\forall i\in I,f(i)\in X_i\right\}.$$

注 1.3. 利用 Descartes 积, 选择公理可以重新表述为: 一族非空集的 Descartes 积非空.

2性质

•	$0$ 个集合的 Descartes 积是 $\{\varnothing \}$. $1$ 个集合的 Descartes 积是其自身.

3相关概念

•	无交并
•	拉回 (范畴论)

术语翻译

Descartes 积 • 英文 Cartesian product • 德文 Kartesisches Produkt • 法文 produit cartésien • 拉丁文 productum cartesianum