Suslin 树

Suslin 树是集合论中的概念, 这个概念是以以俄国数学家 Mikhail Yakovlevich Suslin 的名字命名的.

Suslin 树的存在性是独立于 ZFC 的. 它与 Suslin 线或是 Suslin 代数的存在性等价. 菱形原理这个 V=L 的结论能够证明 Suslin 树是存在的, 而 Martin 公理 ($MA({\aleph }_1)$) 否定了 Suslin 树的存在性. 此外, 在广义连续统假设下是否存在 ${\aleph }_2$-Suslin 树还是一个长久未解决的开放性问题.

1定义

定义 1.1 (Suslin 树). Suslin 树指的是高为 ${\omega }_1$ 的树, 满足它的任意反链和树枝均可数.

对于一般的基数, 也可以定义 Suslin 树.

定义 1.2 ($\kappa$-Suslin 树). $\mathbf{\kappa }$-Suslin 树指的是高为 $\kappa$ 的树, 满足它的任意反链和树枝的势均小于 $\kappa$.

由此, 上述 Suslin 树即是 ${\omega }_1$-Suslin 树.

2性质

命题 2.1. Suslin 树是 Aronszajn 树.

相容性

Jensen 在 1972 年证明了如果 V=L 成立, 那么对于每一个无穷后继基数 $\kappa$, 都有一棵 $\kappa$-Suslin 树.

独立性

3相关概念

•	Aronszajn 树

术语翻译

Suslin 树 • 英文 Suslin tree • 法文 arbre de Suslin